Question

已知⊙O₁與⊙O₂相交于A、B，點(diǎn)O₁在⊙O₂上，AC是⊙O₁的直徑，直線CB與⊙O₂相交于點(diǎn)D，連AD．
（1）求證：AD是⊙O₂的直徑；
（2）求證：DA=DC．
（3）若AC=2，AD=4，求sinC的值．

Answer 1

考點(diǎn)：相交兩圓的性質(zhì)

專題：

分析：（1）如圖，作輔助線，證明∠ABD=∠ABC=90°，即可解決問題．
（2）證明DO₁是線段AC的垂直平分線，即可解決問題．
（3）求出CO₁=1，DC=4；借助∠CO₁D=90°，運(yùn)用勾股定理即可解決問題．

解答：（1）證明：如圖，連接AB；
∵AC是⊙O₁的直徑，
∴∠ABD=∠ABC=90°，
∴AD是⊙O₂的直徑．
（2）證明：∵AD是⊙O₂的直徑，
∴∠AO₁D=90°，而AO₁=CO₁，
∴DO₁是線段AC的垂直平分線，
∴DA=DC．
（3）解：∵DA=DC，DA=4，AC=2，
∴CO₁=1，DC=4；而∠CO₁D=90°，
∴由勾股定理得：
DO12=DC2-CO12=16-1，
∴DO1=

15

，
∴sinC=

15

4

．

點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了相交兩圓的性質(zhì)及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是作輔助線，靈活運(yùn)用圓周角定理來分析、判斷、推理或解答．