Question

如圖9，在直角梯形中，∥,⊥,,,，

點(diǎn)沿線段從點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，設(shè)．

（1）求的長(zhǎng)；

（2）點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在以為頂點(diǎn)的三角形與以為頂點(diǎn)的三角形相似？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）設(shè)與的外接圓的面積分別為、，若，求的最小值．

Answer 1

解：(1)過點(diǎn)作于.在Rt中，，.

∴,

∴.

(2)存在.若以、、為頂點(diǎn)的三角形與以、、為頂點(diǎn)的三角形相似，

則必有一個(gè)角是直角.

①當(dāng)時(shí)，在Rt中，，，

∴.

又由(1)知，在Rt中 ,，

∴，∴.

∴∽.

②當(dāng)時(shí)，在Rt中，，，

∴，，∴.

則且，此時(shí)與不相似.

∴存在與相似，此時(shí).（3）如圖，因?yàn)镽t外接圓的直徑為斜邊，

∴.

①當(dāng)時(shí)，作的垂直平分線交于，交于；作的垂

直平分線交于，交于，連結(jié).則為外接圓的半徑.

在Rt中，，，∴,

又，∴.

在Rt中，∴.

在Rt中，，

∴.

②當(dāng)時(shí)，也成立. 

∴.

∴當(dāng)時(shí),取得最小值.