Question

如圖，已知拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，連接BC。

（1）求A、B、C三點的坐標；

（2）若點P為線段BC上的一點（不與B、C重合），PM∥y軸，且PM交拋物線于點M，交x軸于點N，當△BCM的面積最大時，求△BPN的周長；

（3）在（2）的條件下，當BCM的面積最大時，在拋物線的對稱軸上存在點Q，使得△CNQ為直角三角形，求點Q的坐標。

Answer 1

   

解：（1）令x=0，解得y=3

∴點C的坐標為（0,3）

令y=0，解得x₁=-1，x₂=3

∴點A的坐標為（-1,0）

  點B的坐標為（3,0）

（2）由A，B兩點坐標求得直線AB的解析式為y=-x+3

設點P的坐標為（x，-x+3）（0＜x＜3）

∵PM∥y軸

∠PNB=90°，點M的坐標為（x，-x²+2x+3）

∴PM=（-x²+2x+3）-（-x+3）

=-x²+3x

∵

∴當x=時的面積最大

此時，點P的坐標為（，）

∴PN=，BN=，BP=

∴.

（3）求得拋物線對稱軸為x=1

設點Q的坐標為（1，）

∴

①       當∠CNQ=90°時， 如圖1所示

即

解得：

∴Q₁（1，）

②       當∠NCQ=90°時，如圖2所示

即

解得：

∴Q₂（1，）

③       當∠CQN=90°時，如圖3所示

即

解得：

∴Q₃（1，）Q₄（1，）