操作:如圖,在正方形ABCD中,P是CD上一動點(與C、D不重合),使三角板的直角頂點與點P重合(含30度角的直角三角板),并且一條直角邊始終經過點B,另一直角邊與正方形的某一邊所在直線交于點E.
探究:①觀察操作結果,哪一個三角形與△BPC相似,寫出你的結論,并說明理由;
②當點P位于CD的中點時,你找到的三角形與△BPC的周長比和面積比分別是多少?

【答案】分析:由于本題直角三角形的擺放方法沒有確定,因此要分兩種情況進行討論:
①直角三角形的斜邊與AD相交;(如圖1)
②直角三角形的斜邊與BC邊在同一條直線上(如圖2);解題思路一致.
以①為例說明:△DEP和△BCP中,∠DEP和∠BPC同為∠DPE的余角,因此這兩角相等,易證得兩三角形相似.當P為CD中點時,PD=CP,可根據相似三角形得出的比例關系式求出DE和BC的表達式,進一步可求得兩三角形的周長和面積比.
解答:解:分兩種情況:
①如圖(1),
∵∠BPE=90°,
∴∠BPC+∠DPE=90°,又∠BPC+∠PBC=90°,
∴∠PBC=∠DPE,又∠C=∠D=90°,
∴△BPC∽△PED.
如圖(2),同理可證△BPC∽△BEP∽△PEC.

②如圖(1),∵△BPC∽△PED,
∴△PED與△BPC的周長比等于對應邊的比,即PD與BC的比,
∵點P位于CD的中點,
∴PD與BC的比為1:2,
∴△PED與△BPC的周長比1:2,
△PED與△BPC的面積比1:4.
如圖(2),∵△BPC∽△BEP,
∴△BEP與△BPC的周長比等于對應邊的比,即BP與BC的比,
∵點P位于CD的中點,
設BC=2k,則PC=k,BP=k,
∴BP與BC的比為:2,
△BEP與△BPC的周長比為:2,△BEP與△BPC的面積比為5:4.
點評:本題考查對相似三角形性質的理解.
(1)相似三角形周長的比等于相似比.
(2)相似三角形面積的比等于相似比的平方.
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探究:①觀察操作結果,哪一個三角形與△BPC相似,寫出你的結論,并說明理由;
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探究:①觀察操作結果,哪一個三角形與△BPC相似,寫出你的結論,(找出兩對即可);并選擇其中一組說明理由;
②當點P位于CD的中點時,直接寫出① 中找到的兩對相似三角形的相似比和面積比.

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探究:①觀察操作結果,哪一個三角形與△BPC相似,寫出你的結論,(找出兩對即可);并選擇其中一組說明理由;

②當點P位于CD的中點時,直接寫出① 中找到的兩對相似三角形的相似比和面積比.

 

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