Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，過(guò)O點(diǎn)作直線EF分別交BC、AD于E、F．
（1）求證：BE=DF；
（2）若AC，EF將平行四邊形ABCD分成的四部分的面積相等，指出E點(diǎn)的位置，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）易證△AOF≌△COE，那么AF=CE，由AD=BC可得BE=DF．
（2）面積相等的四邊形的高與底應(yīng)該相等，那么利用對(duì)角線的互相平分可得到被分成的四個(gè)三角形的面積是相等的．
解答：（1）證明：在平行四邊形ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴在△AOF與△COE中，
，
∴△AOF≌△COE．
∴AF=CE．
又∵AD=BC，
∴AD-AF=BC-BE，
即BE=DF．

（2）答：當(dāng)E點(diǎn)與B點(diǎn)重合時(shí)，EF將平行四邊形ABCD分成的四個(gè)部分的面積相等．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA=OC，OB=OD，
理由：由△ABO與△AOD等底同高可知面積相等，
同理，△ABO與△BOC的面積相等，△AOD與△COD的面積相等，
從而易知所分成的四個(gè)三角形面積相等．
點(diǎn)評(píng)：出現(xiàn)上圖時(shí)，通常要證新直線所在的三角形全等；需注意利用平行四邊形的對(duì)角線互相平分得到被對(duì)角線分成的四個(gè)三角形的面積相等．