Question

已知方程x²+bx+c=0與x²+cx+b=0各有兩個(gè)整數(shù)根x₁，x₂，和x₁′，x₂′，且x₁x₂＞0，x₁′x₂′＞0．
（1）求證：x₁＜0，x₂＜0，x₁′＜0，x₂′＜0；
（2）求證：b-1≤c≤b+1；
（3）求b，c的所有可能的值．

Answer 1

（1）由x₁x₂＞0知，x₁與x₂同號(hào)．
若x₁＞0，則x₂＞0，這時(shí)-b=x₁+x₂＞0，
所以b＜0，
此時(shí)與b=x₁′x₂′＞0矛盾，
所以x₁＜0，x₂＜0．
同理可證x₁′＜0，x₂′＜0．

（2）由（1）知，x₁＜0，x₂＜0，所以x₁≤-1，x₂≤-1．
由韋達(dá)定理c-（b-1）=x₁x₂+x₁+x₂+1=（x₁+1）（x₂+1）≥0，
所以c≥b-1．
同理有b-（c-1）=x₁′x₂′+x₁′+x₂′+1=（x₁′+1）（x₂′+1）≥0
所以c≤b+1，
所以b-1≤c≤b+1．

（3）由（2）可知，b與c的關(guān)系有如下三種情況：
（i）c=b+1．由韋達(dá)定理知
x₁x₂=-（x₁+x₂）+1，
所以（x₁+1）（x₂+1）=2，
所以

x1+1=-1 x2+1=-2

或

x1+1=-2 x2+1=-1

解得x₁+x₂=-5，x₁x₂=6，所以b=5，c=6．
（ii）c=b．由韋達(dá)定理知
x₁x₂=-（x₁+x₂），
所以（x₁+1）（x₂+1）=1，
所以x₁=x₂=-2，從而b=4，c=4．
（iii）c=b-1．由韋達(dá)定理知
-（x₁′+x₂′）=x₁′x₂′-1
所以（x₁′+1）（x₂′+1）=2，
解得x₁′+x₂′=-5，x₁′x₂′=6，
所以b=6，c=5．
綜上所述，共有三組（b，c）=（5，6），（4，4），（6，5）．