Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，過點(diǎn)A作AD∥BC，連結(jié)BD交AC于點(diǎn)E，且ED=2AB．求證：∠ABE=2∠EBC．

Answer 1

考點(diǎn)：直角三角形斜邊上的中線,等腰三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：取DE的中點(diǎn)F，連接AF，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得AF=DF=

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DE，根據(jù)等角對(duì)等邊可得∠D=∠DAF，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠AFB=2∠D，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠EBC=∠D，再求出AB=AF，根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠ABE=∠AFB，等量代換即可得證．

解答：證明：如圖，取DE的中點(diǎn)F，連接AF，
∵∠C=90°，AD∥BC，
∴∠DAE=∠C=90°，
∴AF=DF=

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DE，
∴∠D=∠DAF，
由三角形的外角性質(zhì)得，∠AFB=∠D+∠DAF=2∠D，
∵AD∥BC，
∴∠EBC=∠D，
∵ED=2AB，
∴AB=

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DE，
∴AB=AF，
∴∠ABE=∠AFB，
∴∠ABE=2∠EBC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等邊對(duì)等角的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并作輔助線是解題的關(guān)鍵．