Question

如圖，已知Rt△ABC，D₁是斜邊AB的中點，過D₁作D₁E₁⊥AC于E₁，連接BE₁交CD₁于D₂；過D₂作D₂E₂⊥AC于E₂，連接BE₂交CD₁于D₃；過D₃作D₃E₃⊥AC于E₃，…，如此繼續(xù)，可以依次得到點E₄、E₅、…、E_n，分別記△BCE₁、△BCE₂、△BCE₃…△BCE_n的面積為S₁、S₂、S₃、…S_n．則S_n=

 

S_△ABC（用含n的代數(shù)式表示）．

Answer 1

分析：根據(jù)直角三角形的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)．再利用在△ACB中，D₂為其重心可得D₂E₁=

1

3

BE₁，然后從中找出規(guī)律即可解答．

解答：解：易知D₁E₁∥BC，∴△BD₁E₁與△CD₁E₁同底同高，面積相等，以此類推；
根據(jù)直角三角形的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)可知：D₁E₁=

1

2

BC，CE₁=

1

2

AC，S₁=

1

2

BC•CE₁=

1

2

BC×

1

2

AC=

1

2

×

1

2

AC•BC=

1

2

S_△ABC；
∴在△ACB中，D₂為其重心，
∴D₂E₁=

1

3

BE₁，
∴D₂E₂=

1

3

BC，CE₂=

1

3

AC，S₂=

1

3

×

1

2

×AC•BC=

1

3

S_△ABC，
∴D₃E₃=

1

4

BC，CE₂=

1

4

AC，S₃=

1

4

S_△ABC…；
∴S_n=

1

n+1

S_△ABC．
故答案為：

1

n+1

．

點評：此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)和三角形的重心等知識點，解決本題的關(guān)鍵是據(jù)直角三角形的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)得到第一個三角形的面積與原三角形的面積的規(guī)律．