Question

已知拋物線y=-x²+mx+（7-2m）（m為常數(shù)）．
（1）證明：不論m為何值，拋物線與x軸恒有兩個不同的交點；
（2）若拋物線與x軸的交點A（x₁，0）、B（x₂，0）的距離為AB=4（A在B的左邊），且拋物線交了軸的正半軸于C，求拋物線的解析式．

Answer 1

解：（1）證明：∵△=m²-4×（-1）（7-2m）
=m²-8m+28
=（m-4）²+12＞0，
∴拋物線與x軸恒有兩個不同的交點；

（2）解：由AB=4得|x₂-x₁|=4，
∴（x₂-x₁）²=16，
即（x₂+x₁）²-4x₁x₂=16，
由根與系數(shù)關(guān)系得（-m）²-4•（）=16，
即m²-8m+12=0
解得m=2或m=6，
∵拋物線交y軸的正半軸于C
∴7-2m＞0，
∴m＜，
∴m=6舍去，
即m=2，
∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+3．
分析：（1）要證明拋物線與x軸恒有兩個不同的交點證明拋物線的判別式是正數(shù)，所以證明判別式是正數(shù)即可解決問題；
（2）首先由AB=4可以得|x₂-x₁|=4，而（x₂-x₁）²=（x₂-x₁）²-4x₁x₂=16，然后利用根與相似的關(guān)系即可得到關(guān)于m方程，解方程即可求出m，也就求出了拋物線的解析式．
點評：此題主要考查了拋物線與x軸的交點個數(shù)與判別式之間的關(guān)系，也利用了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系解決問題．