【題目】如圖,已知拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O,頂點(diǎn)為A(1,1),且與直線y=x﹣2交于B,C兩點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)求證:△ABC是直角三角形;
(3)若點(diǎn)N為x軸上的一個動點(diǎn),過點(diǎn)N作MN⊥x軸與拋物線交于點(diǎn)M,則是否存在以O(shè),M,N為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似?若存在,請求出點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=﹣x2+2x;C(-1,-3);(2)證明過程見解析;(3)(,0)或(,0)或(﹣1,0)或(5,0)
【解析】
試題分析:(1)可設(shè)頂點(diǎn)式,把原點(diǎn)坐標(biāo)代入可求得拋物線解析式,聯(lián)立直線與拋物線解析式,可求得C點(diǎn)坐標(biāo);(2)分別過A、C兩點(diǎn)作x軸的垂線,交x軸于點(diǎn)D、E兩點(diǎn),結(jié)合A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)可求得∠ABO=∠CBO=45°,可證得結(jié)論;(3)設(shè)出N點(diǎn)坐標(biāo),可表示出M點(diǎn)坐標(biāo),從而可表示出MN、ON的長度,當(dāng)△MON和△ABC相似時,利用三角形相似的性質(zhì)可得=或=,可求得N點(diǎn)的坐標(biāo).
試題解析:(1)∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1), ∴設(shè)拋物線解析式為y=a(x﹣1)2+1,
又拋物線過原點(diǎn), ∴0=a(0﹣1)2+1,解得a=﹣1, ∴拋物線解析式為y=﹣(x﹣1)2+1, 即y=﹣x2+2x,
聯(lián)立拋物線和直線解析式可得,解得或,
∴B(2,0),C(﹣1,﹣3);
(2)如圖,分別過A、C兩點(diǎn)作x軸的垂線,交x軸于點(diǎn)D、E兩點(diǎn),
則AD=OD=BD=1,BE=OB+OE=2+1=3,EC=3, ∴∠ABO=∠CBO=45°,即∠ABC=90°, ∴△ABC是直角三角形;
(3)假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)N,設(shè)N(x,0),則M(x,﹣x2+2x),
∴ON=|x|,MN=|﹣x2+2x|, 由(2)在Rt△ABD和Rt△CEB中,可分別求得AB=,BC=3,
∵MN⊥x軸于點(diǎn)N ∴∠ABC=∠MNO=90°, ∴當(dāng)△ABC和△MNO相似時有=或=,
①當(dāng)=時,則有=,即|x||﹣x+2|=|x|,
∵當(dāng)x=0時M、O、N不能構(gòu)成三角形, ∴x≠0, ∴|﹣x+2|=,即﹣x+2=±,解得x=或x=,
此時N點(diǎn)坐標(biāo)為(,0)或(,0);
②當(dāng)=時,則有=,即|x||﹣x+2|=3|x|,
∴|﹣x+2|=3,即﹣x+2=±3,解得x=5或x=﹣1, 此時N點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣1,0)或(5,0),
綜上可知存在滿足條件的N點(diǎn),其坐標(biāo)為(,0)或(,0)或(﹣1,0)或(5,0).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列計(jì)算正確的是( 。
A. (x+y)2=x2+y2 B. b3b3=2b3 C. a6÷a3=a3 D. (a5)2=a7
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【題目】用配方法解方程x2-8x+7=0,則配方正確的是( 。
A. (x+4)2=9 B. (x﹣4)2=9 C. (x﹣8)2=16 D. (x+8)2=57
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】根據(jù)圖1所示的程序,得到了y與x的函數(shù)圖象,如圖2.若點(diǎn)M是y軸正半軸上任意一點(diǎn),過點(diǎn)M作PQ∥x軸交圖象于點(diǎn)P,Q,連接OP,OQ.則以下結(jié)論:
①x<0時,;②△OPQ的面積為定值; ③x>0時,y隨x的增大而增大; ④MQ=2PM;⑤∠POQ可以等于90°.
其中正確結(jié)論是( )
A. ①②④ B. ②④⑤ C. ③④⑤ D. ②③④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,CD是⊙O的弦,AB是直徑,且CD∥AB,連接AC、AD、OD,其中AC=CD,過點(diǎn)B的切線交CD的延長線于E.
(1)求證:DA平分∠CDO;
(2)若AB=12,求圖中陰影部分的周長之和(參考數(shù)據(jù):π=3.1,=1.4,=1.7).
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