Question

如圖，點(diǎn)D為⊙O上一點(diǎn)，點(diǎn)C在直徑BA的延長線上，且∠CDA=∠CBD．
（1）判斷直線CD和⊙O的位置關(guān)系，并說明理由．
（2）過點(diǎn)B作⊙O的切線BE交直線CD于點(diǎn)E，若AC=2，⊙O的半徑是3，求BE的長．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定與性質(zhì)

專題：幾何圖形問題

分析：（1）連接OD，根據(jù)圓周角定理求出∠DAB+∠DBA=90°，求出∠CDA+∠ADO=90°，根據(jù)切線的判定推出即可；
（2）根據(jù)勾股定理求出DC，根據(jù)切線長定理求出DE=EB，根據(jù)勾股定理得出方程，求出方程的解即可．

解答：解：（1）直線CD和⊙O的位置關(guān)系是相切，
理由是：連接OD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠DAB+∠DBA=90°，
∵∠CDA=∠CBD，
∴∠DAB+∠CDA=90°，
∵OD=OA，
∴∠DAB=∠ADO，
∴∠CDA+∠ADO=90°，
即OD⊥CE，
∴直線CD是⊙O的切線，
即直線CD和⊙O的位置關(guān)系是相切；

（2）∵AC=2，⊙O的半徑是3，
∴OC=2+3=5，OD=3，
在Rt△CDO中，由勾股定理得：CD=4，
∵CE切⊙O于D，EB切⊙O于B，
∴DE=EB，∠CBE=90°，
設(shè)DE=EB=x，
在Rt△CBE中，由勾股定理得：CE²=BE²+BC²，
則（4+x）²=x²+（5+3）²，
解得：x=6，
即BE=6．

點(diǎn)評：本題考查了切線的性質(zhì)和判定，勾股定理，切線長定理，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，題目比較典型，綜合性比較強(qiáng)，難度適中．