Question

（9分）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F(xiàn)是AB邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)D，E分別在AC，BC邊上運(yùn)動，且保持AD=CE．連接DE，DF，EF．在此運(yùn)動變化的過程中

（1）求證：△DFE是等腰直角三角形．

（2）求DE長度的最小值．

（3）求△CDE面積的最大值．

Answer 1

（1）證明見試題解析；（2）；（3）8．

【解析】

試題分析：（1）連接CF，由SAS定理可得△CFE≌△ADF，從而可證∠DFE=90°可得DF=EF，可得△DFE是等腰直角三角形；

（2）由DE=DF，當(dāng)DF最小時，DE也最小，而當(dāng)DF⊥AC時，DF最小，DE取最小值；

（3）由△ADF≌△CEF，得到S△CEF=S△ADF，故S四邊形CDFE=S△DCF+S△CEF=S△DCF+S△ADF=S△ACF=S△ABC，當(dāng)△DEF的面積最小時，△CED面積最大，S△CED=S四邊形CEFD﹣S△DEF=S△AFC﹣S△DEF=16﹣8=8．

試題解析：（1）連接CF，∵△ABC為等腰直角三角形，∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB，∵AD=CE，∴△ADF≌△CEF，∴EF=DF，∠CFE=∠AFD，∵∠AFD+∠CFD=90°，∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，∴△EDF是等腰直角三角形；

（2）∵△DEF是等腰直角三角形，∴當(dāng)DE最小時，DF也最小，即當(dāng)DF⊥AC時，DE最小，此時DF=BC=4，∴DE=DF=；

（3）∵△ADF≌△CEF，∴S△CEF=S△ADF，∴S四邊形CDFE=S△DCF+S△CEF=S△DCF+S△ADF=S△ACF=S△ABC，當(dāng)△DEF的面積最小時，△CED面積最大，S△CED=S四邊形CEFD﹣S△DEF=S△AFC﹣S△DEF=16﹣8=8．

考點(diǎn)：1．等腰直角三角形；2．全等三角形的判定與性質(zhì)．

考點(diǎn)分析： 考點(diǎn)1：三角形 （1）三角形的概念：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形．
組成三角形的線段叫做三角形的邊．
相鄰兩邊的公共端點(diǎn)叫做三角形的頂點(diǎn)．
相鄰兩邊組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡稱三角形的角．
（2）按邊的相等關(guān)系分類：不等邊三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等邊三角形）．
（3）三角形的主要線段：角平分線、中線、高．
（4）三角形具有穩(wěn)定性． 試題屬性

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