Question

（1）在正△ABC中，P在BC上，∠APE=∠B，PE與∠C的外角平分線交于E，求證：AP=PE．
（2）如圖（2），（1）中“在正△ABC 中“改為“在正方形ABCD中“，其余不變，其結(jié)論仍然成立嗎？

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接AE，可證點(diǎn)A、C、P、E四點(diǎn)共圓，進(jìn)而可以證明∠PAE=60°，即可證明△APE是等邊三角形，即可解題；
（2）連接AE，取AG=CP，連接GP，易證∠EPC=∠PAB，∠AGP=∠ECP，即可證明△AGP和△PCE，即可解題．

解答：解：（1）連接AE，

∵CE是等邊△ABC的外角平分線，
∴∠ACE=∠DCE=60°，
∴點(diǎn)A、C、P、E四點(diǎn)共圓，
∴∠EAC=∠EPC，
∵∠APC=∠B+∠BAP，∠APE=∠B，
∴∠BAP=∠CAE，
∴∠PAE=60°，
∴△APE是等邊三角形，
∴AP=PE．
（2）連接AE，取AG=CP，連接GP．

∵∠EPC+∠APB=90°，∠APB+∠PAB=90°，
∴∠EPC=∠PAB，
∵AB=BC，AG=PC，
∴BG=BP，
∴∠BGP=45°，
∴∠AGP=135°，
∵∠ECP=∠BCD+∠ECD=135°，
∴∠AGP=∠ECP，
在△AGP和△PCE中，

∠PAB=∠EPC AG=PC ∠AGP=∠ECP

，
∴△AGP≌△PCE（ASA），
∴AP=PE．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中構(gòu)建全等三角形并證明是解題的關(guān)鍵．