Question

如圖，每個(gè)小方格都是邊長為1個(gè)單位的小正方形，A、B、C三點(diǎn)都是格點(diǎn)（每個(gè)小方格的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)），其中A（1，8），B（3，8），C（4，7）．

（1）若D（2，3），請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格圖中畫一個(gè)格點(diǎn)△DEF，使△DEF∽△ABC，且相似比為2：1；

（2）求∠D的正弦值；

（3）若△ABC外接圓的圓心為P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為__________．

Answer 1

【考點(diǎn)】作圖—相似變換；三角形的外接圓與外心．

【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，作出DE=2AB，EF=2BC，DF=2AC的三角形即可；

（2）作FG⊥DE于G，在Rt△DFG中利用正弦函數(shù)的定義即可求解；

（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)“三角形外接圓的圓心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等”列出等式，化簡即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

【解答】解：（1）如下圖所示，△DEF即為所求；

（2）如圖，作FG⊥DE于G，

∵在Rt△DFG中，F(xiàn)G=2，DG=6，

∴DF===2，

∴sin∠D===；

（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y）；

∵△ABC外接圓的圓心為P，

∴PA=PB=PC，

∵A（1，8），B（3，8），C（4，7），

∴（1﹣x）²+（8﹣y）²=（3﹣x）²+（8﹣y）²=（4﹣x）²+（7﹣y）²，

化簡后得x=2，y=6，

因此點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，6）．

故答案為（2，6）．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣相似變換，銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理，三角形的外接圓與外心，兩點(diǎn)間的距離公式，難度適中．