(2005•大連)已知A1、A2、A3是拋物線y=x2上的三點(diǎn),A1B1、A2B2、A3B3分別垂直于x軸,垂足為B1、B2、B3,直線A2B2交線段A1A3于點(diǎn)C.
(1)如圖,若A1、A2、A3三點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為1,2,3,求線段CA2的長(zhǎng);
(2)如圖,若將拋物線y=x2改為拋物線y=x2-x+1,A1、A2、A3三點(diǎn)的橫坐標(biāo)為連續(xù)整數(shù),其他條件不變,求線段CA2的長(zhǎng);
(3)若將拋物線y=x2改為拋物線y=ax2+bx+c,A1、A2、A3三點(diǎn)的橫坐標(biāo)為連續(xù)整數(shù),其他條件不變,請(qǐng)猜想線段CA2的長(zhǎng)(用a、b、c表示,并直接寫(xiě)出答案).

【答案】分析:(1)A1、A2、A3是拋物線y=x2上的三點(diǎn),A1、A2、A3三點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為1,2,3,代入函數(shù)解析式就可以求出三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),再根據(jù)待定系數(shù)法就可以求出直線A1A3的解析式.求出直線B2A2與A1A3的交點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而求出A2C的長(zhǎng).
(2)設(shè)A1、A2、A3三點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為n-1、n、n+1,可以采用與第一問(wèn)相同的方法解決.
解答:解:(1)方法一:∵A1、A2、A3三點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為1、2、3,
∴A1B1=×12=,A2B2=×22=2,A3B3=×32=(1分)
設(shè)直線A1A3的解析式為y=kx+b.

解得
∴直線A1A3的解析式為y=2x-,
∴CB2=2×2-=(2分)
∴CA2=CB2-A2B2=-2=.(3分)
方法二:∵A1、A2、A3三點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為1、2、3,
∴A1B1=×12=,A2B2=×22=2,A3B3=×32=(1分)
由已知可得A1B1∥A3B3,
∴CB2=(A1B1+A3B3)=+)=(2分)
∴CA2=CB2-A2B2=-2=.(3分)

(2)方法一:設(shè)A1、A2、A3三點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為n-1、n、n+1,
則A1B1=(n-1)2-(n-1)+1,
A2B2=n2-n+1,
A3B3=(n+1)2-(n+1)+1(4分)
設(shè)直線A1A3的解析式為y=kx+b.
(5分)
解得,(6分)
∴直線A1A3的解析式為y=(n-1)x-n2+.(7分)
∴CB2=n(n-1)-n2+=n2-n+(8分)
∴CA2=CB2-A2B2=n2-n+-n2+n-1=(9分)
方法二:設(shè)A1、A2、A3三點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為n-1、n、n+1.
則A1B1=(n-1)2-(n-1)+1,
A2B2=n2-n+1,
A3B3=(n+1)2-(n+1)+1(4分)
由已知可得A1B1∥A3B3,
∴CB2=(A1B1+A3B3)(6分)
=[(n-1)2-(n-1)+1+(n+1)2-(n+1)+1](7分)
=n2-n+(8分)
∴CA2=CB2-A2B2=n2-n+-(n2-n+1)=.(9分)

(3)當(dāng)a>0時(shí),CA2=a;
當(dāng)a<0時(shí),CA2=-a.(12分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了函數(shù)圖象上的點(diǎn)與解析式的關(guān)系,點(diǎn)在圖象上,就一定滿(mǎn)足函數(shù)的解析式.
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(1)如圖,若A1、A2、A3三點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為1,2,3,求線段CA2的長(zhǎng);
(2)如圖,若將拋物線y=x2改為拋物線y=x2-x+1,A1、A2、A3三點(diǎn)的橫坐標(biāo)為連續(xù)整數(shù),其他條件不變,求線段CA2的長(zhǎng);
(3)若將拋物線y=x2改為拋物線y=ax2+bx+c,A1、A2、A3三點(diǎn)的橫坐標(biāo)為連續(xù)整數(shù),其他條件不變,請(qǐng)猜想線段CA2的長(zhǎng)(用a、b、c表示,并直接寫(xiě)出答案).

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