Question

【題目】已知正方形ABCD中，E為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，過(guò)E點(diǎn)作EF⊥BD交BC于F，連接DF，G為DF中點(diǎn)，連接EG，CG．

（1）求證：EG=CG；
（2）將圖①中△BEF繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，如圖②所示，取DF中點(diǎn)G，連接EG，CG．問(wèn)（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）將圖①中△BEF繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖③所示，再連接相應(yīng)的線段，問(wèn)（1）中的結(jié)論是否仍然成立？通過(guò)觀察你還能得出什么結(jié)論（均不要求證明）．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠DCF=90°，

在Rt△FCD中，

∵G為DF的中點(diǎn)，

∴CG= FD，

同理，在Rt△DEF中，

EG= FD，

∴CG=EG．

（2）

解：（1）中結(jié)論仍然成立，即EG=CG．

證法一：連接AG，過(guò)G點(diǎn)作MN⊥AD于M，與EF的延長(zhǎng)線交于N點(diǎn)．

在△DAG與△DCG中，

∵AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，

∴△DAG≌△DCG（SAS），

∴AG=CG；

在△DMG與△FNG中，

∵∠DGM=∠FGN，F(xiàn)G=DG，∠MDG=∠NFG，

∴△DMG≌△FNG（ASA），

∴MG=NG；

∵∠EAM=∠AEN=∠AMN=90°，

∴四邊形AENM是矩形，

在矩形AENM中，AM=EN，

在△AMG與△ENG中，

∵AM=EN，∠AMG=∠ENG，MG=NG，

∴△AMG≌△ENG（SAS），

∴AG=EG，

∴EG=CG．

證法二：延長(zhǎng)CG至M，使MG=CG，

連接MF，ME，EC，

在△DCG與△FMG中，

∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，

∴△DCG≌△FMG．

∴MF=CD，∠FMG=∠DCG，

∴MF∥CD∥AB，

∴EF⊥MF．

在Rt△MFE與Rt△CBE中，

∵M(jìn)F=CB，∠MFE=∠EBC，EF=BE，

∴△MFE≌△CBE

∴∠MEF=∠CEB．

∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°，

∴△MEC為直角三角形．

∵M(jìn)G=CG，

∴EG= MC，

∴EG=CG．

（3）

解：（1）中的結(jié)論仍然成立．理由如下：

過(guò)F作CD的平行線并延長(zhǎng)CG交于M點(diǎn)，連接EM、EC，過(guò)F作FN垂直于AB于N．

由于G為FD中點(diǎn)，易證△CDG≌△MFG，得到CD=FM，

又因?yàn)锽E=EF，易證∠EFM=∠EBC，則△EFM≌△EBC，∠FEM=∠BEC，EM=EC

∵∠FEC+∠BEC=90°，∴∠FEC+∠FEM=90°，即∠MEC=90°，

∴△MEC是等腰直角三角形，

∵G為CM中點(diǎn)，

∴EG=CG，EG⊥CG．

【解析】（1）利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可證出CG=EG．（2）結(jié)論仍然成立，連接AG，過(guò)G點(diǎn)作MN⊥AD于M，與EF的延長(zhǎng)線交于N點(diǎn)；再證明△DAG≌△DCG，得出AG=CG；再證出△DMG≌△FNG，得到MG=NG；再證明△AMG≌△ENG，得出AG=EG；最后證出CG=EG．（3）結(jié)論依然成立．還知道EG⊥CG．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等; 全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等；正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形才能正確解答此題．