【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A(-3,0)、B(1,0),與y軸交于點(diǎn)D(0,3),過頂點(diǎn)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H.

(1)求拋物線的解析式和頂點(diǎn)C的坐標(biāo);

(2)連結(jié)AD、CD,若點(diǎn)E為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E與頂點(diǎn)C不重合),當(dāng)△ADE與△ACD面積相等時(shí),求點(diǎn)E的坐標(biāo);

(3)若點(diǎn)P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P與頂點(diǎn)C不重合),過點(diǎn)P向CD所在的直線作垂線,垂足為點(diǎn)Q,以P、C、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ACH相似時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】(1),(-1,4) (2)(-2,3),

(3)(-4,-5),(,)

【解析】

(1)將A(-3,0)、B(1,0)、D(0,3),代入y=ax2+bx+3求出即可;(2)求出直線AD的解析式,分別過點(diǎn)C、H作AD的平行線,與拋物線交于點(diǎn)E,利用ADE與ACD面積相等,得出直線EC和直線EH的解析式,聯(lián)立出方程組求解即可;(3) (3)分兩種情況討論:①點(diǎn)P在對(duì)稱軸左側(cè);②點(diǎn)P在對(duì)稱軸右側(cè).

(1)設(shè)拋物線的解析式為,

∵拋物線過點(diǎn)A(-3,0),B(1,0),D(0,3),

,解得,a=-1,b=-2,c=3,

∴拋物線解析式為,頂點(diǎn)C(-1,4);

(2)如圖1,∵A(-3,0),D(0,3),

∴直線AD的解析式為y=x+3,

設(shè)直線AD與CH交點(diǎn)為F,則點(diǎn)F的坐標(biāo)為(-1,2)

∴CF=FH,

分別過點(diǎn)C、H作AD的平行線,與拋物線交于點(diǎn)E,

由平行間距離處處相等,平行線分線段成比例可知,△ADE與△ACD面積相等,

∴直線EC的解析式為y=x+5,

直線EH的解析式為y=x+1,

分別與拋物線解析式聯(lián)立,得,,

解得點(diǎn)E坐標(biāo)為(-2,3),,;

(3)①若點(diǎn)P在對(duì)稱軸左側(cè)(如圖2),只能是△CPQ∽△ACH,得∠PCQ=∠CAH,

,

分別過點(diǎn)C、P作x軸的平行線,過點(diǎn)Q作y軸的平行線,交點(diǎn)為M和N,

由△CQM∽△QPN,

=2,

∵∠MCQ=45°,

設(shè)CM=m,則MQ=m,PN=QN=2m,MN=3m,

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(-m-1,4-3m),

將點(diǎn)P坐標(biāo)代入拋物線解析式,得,

解得m=3,或m=0(與點(diǎn)C重合,舍去)

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(-4,-5);

②若點(diǎn)P在對(duì)稱軸右側(cè)(如圖①),只能是△PCQ∽△ACH,得∠PCQ=∠ACH,

,

延長CD交x軸于M,∴M(3,0)

過點(diǎn)M作CM垂線,交CP延長線于點(diǎn)F,作FNx軸于點(diǎn)N,

∵∠MCH=45°,CH=MH=4

∴MN=FN=2,

∴F點(diǎn)坐標(biāo)為(5,2),

∴直線CF的解析式為y=,

聯(lián)立拋物線解析式,得,解得點(diǎn)P坐標(biāo)為(),

綜上所得,符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為(-4,-5),(,).

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2)將平行四邊形分割成兩個(gè)圖形,都要求其中一個(gè)是軸對(duì)稱圖形,圖1,圖2的分法不相同.

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分?jǐn)?shù)段(表示分?jǐn)?shù))

頻數(shù)

頻率

5

01

5

04

15

03

5

01

1)表中________,________,并補(bǔ)全直方圖;

2)若用扇形統(tǒng)計(jì)圖描述此成績分布情況,則分?jǐn)?shù)段所對(duì)應(yīng)扇形的圓心角度數(shù)是_____;

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①在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中,設(shè)PCQ的面積為S,試求St之間的函數(shù)關(guān)系式;并指出自變量t的取值范圍;

②是否存在這樣的t,使得PCQ為直角三角形?若存在,請(qǐng)直接寫出所有符合條件的t的值.

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