Question

已知：α、β是方程x²-x-1=0的兩個實數(shù)根（α＜β），
（1）求α、β，并通過計算求α+β的值；
（2）閱讀范例，嘗試解題．
示例：根據(jù)α+β的值，求α²+β²與α³+β³的值．
解：因為α是方程x²-x-1=0的一個實數(shù)根，
所以α²-α-1=0，移項得：α²=α+1   ①
同理可得：β²=β+1     ②
由①+②得：α²+β²=（α+1）（β+1）=α+β+2
再根據(jù)α+β的值就可以求出α²+β²的值，
因為α是方程x²-x-1=0的一個實數(shù)根，
所以α²-α-1=0，移項得：α²=α+1；兩邊同乘以α得：α³=α²+α    ③
同理可得：β³=β²+β    ④
由③+④得α³+β³=（α²+α）+（β²+β）=（α²+β²）+（α+β）
由此可根據(jù)上述α+β、α²+β²的值求出α³+β³的值．
①運用上述方法，計算α⁵+β⁵的值？
②計算：(

1+ 5

2

)10+(

1- 5

2

)10的值．（過程不作要求）

Answer 1

考點：一元二次方程的解,因式分解的應(yīng)用

專題：

分析：（1）利用求根公式，代入即可求出．
（2）探究性問題，根據(jù)題目給出的解題步驟，仿寫出算式，進行運算即可，難度不大．

解答：解：（1）利用求根公式x=

-b± b2-4ac

2a

，
將a=1，b=-1，c=-1代入得：α=

1+ 5

2

，β=

1- 5

2

，
則α+β=1．

（2）①由實例可得：α²+β²=3，α³+β³=4，α⁴+β⁴=（α³+β³）+（α²+β²）=7．
因為α是方程x²-x-1=0的一個實數(shù)根，
所以α²-α-1=0，移項得：α²=α+1；兩邊同乘以α³得：α⁵=α⁴+α³    ③
同理可得：β⁵=β⁴+β³    ④
由③+④得α⁵+β⁵=（α⁴+α³）+（β⁴+β³）=（α⁴+β⁴）+（α³+β³）=7+4=11．
②123．

點評：此類題難度不大，關(guān)鍵是考查學(xué)生的觀察運用能力，將題目看透即可作答．