Question

如圖在等邊△ABC中，D、E分別是BC、AC上的點，且AE=CD，AD與BE相交于F，CF⊥BE．求證：
（1）BE=AD；
（2）BF=2AF．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：證明題,壓軸題

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠BAC=∠ACB=60°，AB=AC，再根據(jù)“SAS”可判斷△ABE≌△CAD，所以BE=AD；
（2）由△ABE≌△CAD得∠ABE=∠CAD，則∠BAD=∠CBE，∠BFK=∠BAF+∠ABF=∠CBE+∠ABF=∠ABC=60°，由CF⊥BE可得∠FBK=30°，所以FK=

1

2

BF，再根據(jù)“AAS”可判斷△ABK≌△BCF，則AK=BF，即AF+FK=BF，所以有BF=2AF．

解答：證明：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC=∠ACB=60°，AB=AC，
∵在△ABE和△CAD中

AB=AC ∠BAE=∠ACD AE=CD

，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴BE=AD；

（2）過B作AD的垂線，垂足為K，如圖，
∵△ABE≌△CAD，
∴∠ABE=∠CAD，
∵∠ABE+∠CBE=∠BAD+∠CAD=60°，
∴∠BAD=∠CBE，
∴∠BFK=∠BAF+∠ABF=∠CBE+∠ABF=∠ABC=60°，
∵CF⊥BE，
∴∠BEC=90°，
∴∠FBK=30°，
∴FK=

1

2

BF，
∵在△ABK和△BCF中

∠BAK=∠CBF ∠AKB=∠BFC AB=BC

，
∴△ABK≌△BCF（AAS），
∴AK=BF，即AF+FK=BF，
∴AF+

1

2

BF=BF，
∴BF=2AF．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對應邊相等．也考查了等邊三角形的性質(zhì)．