Question

如圖，點(diǎn)P、Q在⊙0上，直線(xiàn)PM為⊙0的切線(xiàn)，P為切點(diǎn)，OM⊥OQ．連接PQ交OM于A點(diǎn)，連接OP．
（1）求證：MP=MA；
（2）若OP=2，PM=，求OA的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）通過(guò)三角形內(nèi)角和定理、切線(xiàn)與垂直的性質(zhì)求得∠APM=∠PAM；
（2）在直角△OPM中利用勾股定理求得OM的長(zhǎng)度，結(jié)合（1）中的結(jié)論即可求得OA=OM-PM．
解答：（1）證明：∵PM為⊙0的切線(xiàn)，P為切點(diǎn)，OM⊥OQ，
∴∠OPM=∠QOA=90°．
又∵OP=OQ，
∴∠OPQ=∠OQP，
∴∠APM=∠OAQ（等角的余角相等）．
又∵∠OAQ=∠PAM（對(duì)頂角相等），
∴∠APM=∠PAM（等量代換），
∴MP=MA（等角對(duì)等邊）；

（2）解：∵在直角△OPM中，OP=2，PM=，
∴由勾股定理知，OM==3．
又∵由（1）知MP=MA，
∴OA=OM-AM=OM-MP=3-，即OA的長(zhǎng)為（3-）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線(xiàn)的判定與性質(zhì)，勾股定理．注意，此題中的“等量代換”的靈活運(yùn)用的方法．