Question

【題目】如圖甲，在平面直角坐標系中，直線分別交x軸、y軸于點A、B，⊙O的半徑為個單位長度，點P為直線y＝﹣x+6上的動點，過點P作⊙O的切線PC、PD，切點分別為C、D，且PC⊥PD．

（1）判斷四邊形OCPD的形狀并說明理由．

（2）求點P的坐標．

（3）若直線y＝﹣x+6沿x軸向左平移得到一條新的直線y1＝﹣x+b，此直線將⊙O的圓周分得兩段弧長之比為1：3，請直接寫出b的值．

（4）若將⊙O沿x軸向右平移（圓心O始終保持在x軸上），試寫出當⊙O與直線y＝﹣x+6有交點時圓心O的橫坐標m的取值范圍．（直接寫出答案）

Answer 1

【答案】（1）四邊形OCPD為正方形，見解析；（2）P點坐標為(2，4)或(4，2)；（3）b的值為或；（4）

【解析】

（1）根據(jù)切線的性質(zhì)得OC⊥PC，PD⊥PD，加上PC⊥PD，則可判斷四邊形OCPD為矩形，然后利用OC＝OD可判斷四邊形OCPD為正方形；

（2）利用正方形的性質(zhì)得，利用勾股定理建立方程，解方程即可得出結(jié)論；

（3）利用直線y1＝﹣x+b將⊙O的圓周分得兩段弧長之比為1：3可得到直線y1＝kx+b與坐標的交點A和點B為⊙O與坐標的交點，然后討論：當點A和點B都在坐標軸的正半軸上或當點A和點B都在坐標軸的負半軸上時，易得b的值為±；

（4）先確定A點和B點坐標，再判斷△OAB為等腰直角三角形，則∠ABO＝45°，然后討論：當圓移動到點O1時與直線AB相切，作O1M⊥AB，如圖丙，根據(jù)切線的性質(zhì)得O1M＝，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得求出O1與O'2的坐標，于是根據(jù)直線與圓的位置關系可得到⊙O與直線y＝﹣x+6有交點時圓心O的橫坐標m的取值范圍．

解：（1）四邊形OCPD為正方形．

理由如下：連接OC、OD，易知OC⊥PC，OD⊥PD，

又PC⊥PD，

∴四邊形OCPD為矩形，

又OC＝OD，

∴四邊形OCPD為正方形．

（2）連接OP，

為正方形，

，

在直線上，

設，

由得：，

解得：或．

點坐標為或．

（3）平移后的新直線A′B′交圓于A′B′，分得的兩段弧長之比為1：3，

分得的劣弧是圓周的，

直線AB與x軸夾角為，，

，

當為圓周時，直線與坐標軸的交點恰好是與坐標軸的交點，

當AB平移到位置時，；

當AB平移到位置時，，

的值為或．

（4）如圖，⊙O沿x軸向右平移過程中分別在⊙O1處，⊙O2處與直線y＝﹣x+6相切，

則圓在O落在O1，O2之間均滿足題意，

在處相切時，為等腰直角三角形，

，．

，同理，在處相切時，，

，

當與直線有交點時，圓心O的橫坐標m的取值范圍為．