【題目】如圖已知拋物線y=﹣x2+(1﹣m)x﹣m2+12交x軸于點A,交y軸于點B(0,3),頂點C位于第二象限,連接AB,AC,BC.
(1)求拋物線的解析式;
(2)在x軸上是否存在點P,使得△PAB的面積等于△ABC的面積?如果存在,求出點P的坐標.
(3)將△ABC沿x軸向右移動t個單位長度(0<t<1)時,平移后△ABC和△ABO重疊部分的面積為S,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系.
【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3;(2)點P的坐標為(﹣1,0)或(﹣5,0);(3)
【解析】
(1)利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出m的值,結(jié)合拋物線的頂點在第二象限可得出m>1,進而可確定m的值,再將其代入拋物線解析式中即可得出結(jié)論;
(2)過點C作CD⊥x軸,垂足為點D,利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征及配方法,可求出點A,C的坐標,利用分割圖形求面積法可求出△ABC的面積,再由三角形的面積公式結(jié)合S△PAB=S△ABC可求出AP的長,結(jié)合點A的坐標,即可求出點P的坐標;
(3)設(shè)△ABC平移后得到△A′B′C′,A′B′與y軸交于點M,A′C′交AB于點N,根據(jù)點的坐標,利用待定系數(shù)法可求出線段AB,AC所在直線的解析式,結(jié)合平移的性質(zhì)可得出線段A′B′,A′C′所在直線的解析式,利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出點M,N的坐標,由三角形、梯形的面積公式結(jié)合S=S△AOB﹣S△AA′N﹣S△AA′M,即可得出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式.
(1)∵拋物線y=﹣x2+(1﹣m)x﹣m2+12交y軸于點B(0,3),
∴﹣m2+12=3,
∴m=±3.
又∵拋物線的頂點C位于第二象限,
∴﹣ ,
∴m>1,
∴m=3,
∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3.
(2)過點C作CD⊥x軸,垂足為點D,如圖1所示.
當y=0時,﹣x2﹣2x+3=0,
解得:x1=﹣3,x2=1,
∴點A的坐標為(﹣3,0).
∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣(x+1)2+4,
∴點C的坐標為(﹣1,4),點D的坐標為(﹣1,0),
∴S△ABC=S△ACD+S梯形CDOB﹣S△AOB,
=ADCD+(OB+CD)OD﹣OAOB,
=×2×4+×(3+4)×1﹣×3×3,
=3.
∵S△PAB=S△ABC,
∴APOB=3,
∴AP=2,
∴點P的坐標為(﹣1,0)或(﹣5,0).
(3)設(shè)△ABC平移后得到△A′BC′,A′B′與y軸交于點M,A′C′交AB于點N,如圖2所示.
設(shè)線段AB所在直線的解析式為y=kx+b(k≠0),
將A(﹣3,0),B(0,3)代入y=kx+b,得:
,解得: ,
∴線段AB所在直線的解析式為y=x+3.
同理,可得出線段AC所在直線的解析式為y=2x+6.
∵將△ABC沿x軸向右移動t個單位長度(0<t<1)得到△A′B′C′,
∴點A′的坐標為(t﹣3,0),線段A′B′所在直線的解析式為y=x+3﹣t(0<t<1),線段A′C′所在直線的解析式為y=2x+6﹣2t(0<t<1).
當x=0時,y=x+3﹣t=3﹣t,
∴點M的坐標為(0,3﹣t).
將y=x+3代入y=2x+6﹣2t,整理,得:x+3﹣2t=0,
解得:x=2t﹣3,
∴點N的坐標為(2t﹣3,2t),
∴S=S△AOB﹣S△AA′N﹣S△AA′M,
=OAOB﹣AA′yA′﹣OA′OM,
=×3×3﹣t2t﹣(3﹣t)(3﹣t),
=﹣t2+3t.
∴S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為S=﹣ t2+3t(0<t<1).
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【題目】我市倡導(dǎo)垃圾分類投放,將日常垃圾分成四類,分別投放四種不同顏色的垃圾桶中,在“垃圾分類”模擬活動中,某同學(xué)把兩個不同類的垃圾隨意放入兩個不同顏色的垃圾筒中,則這個同學(xué)正確分類投放垃圾的概率是______.
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【題目】如圖,在菱形ABCD中,對角線AC、BD交于點O,已知AC=2,AB=5.
(1)求BD的長;
(2)點E為直線AD上的一個動點,連接CE,將線段EC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)∠BCD的角度后得到對應(yīng)的線段CF(即∠ECF=∠BCD),EF交CD于點P.
①當E為AD的中點時,求EF的長;
②連接AF、DF,當DF的長度最小時,求△ACF的面積.
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【題目】今年,我國海關(guān)總署嚴厲打擊“洋垃圾”違法行動,堅決把“洋垃圾”拒于國門之外.如圖,某天我國一艘海監(jiān)船巡航到A港口正西方的B處時,發(fā)現(xiàn)在B的北偏東60°方向,相距150海里處的C點有一可疑船只正沿CA方向行駛,C點在A港口的北偏東30°方向上,海監(jiān)船向A港口發(fā)出指令,執(zhí)法船立即從A港口沿AC方向駛出,在D處成功攔截可疑船只,此時D點與B點的距離為75海里.
(1)求B點到直線CA的距離;
(2)執(zhí)法船從A到D航行了多少海里?(結(jié)果保留根號)
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【題目】如圖,點A在雙曲線y=的第一象限的那一支上,AB垂直于x軸與點B,
點C在x軸正半軸上,且OC=2AB,點E在線段AC上,且AE=3EC,點D為OB的中點,若△ADE
的面積為3,則k的值為 ▲ .
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【題目】某超市銷售一種文具,進價為5元/件.售價為6元/件時,當天的銷售量為100件.在銷售過程中發(fā)現(xiàn):售價每上漲0.5元,當天的銷售量就減少5件.設(shè)當天銷售單價統(tǒng)一為元/件(,且是按0.5元的倍數(shù)上漲),當天銷售利潤為元.
(1)求與的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出自變量的取值范圍);
(2)要使當天銷售利潤不低于240元,求當天銷售單價所在的范圍;
(3)若每件文具的利潤不超過,要想當天獲得利潤最大,每件文具售價為多少元?并求出最大利潤.
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【題目】如圖,在平面直接坐標系中,將反比例函數(shù)的圖象繞坐標原點O逆時針旋轉(zhuǎn)45°得到的曲線l,過點,的直線與曲線l相交于點C、D,則sin∠COD=___ .
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【題目】如圖甲,在平面直角坐標系中,直線分別交x軸、y軸于點A、B,⊙O的半徑為個單位長度,點P為直線y=﹣x+6上的動點,過點P作⊙O的切線PC、PD,切點分別為C、D,且PC⊥PD.
(1)判斷四邊形OCPD的形狀并說明理由.
(2)求點P的坐標.
(3)若直線y=﹣x+6沿x軸向左平移得到一條新的直線y1=﹣x+b,此直線將⊙O的圓周分得兩段弧長之比為1:3,請直接寫出b的值.
(4)若將⊙O沿x軸向右平移(圓心O始終保持在x軸上),試寫出當⊙O與直線y=﹣x+6有交點時圓心O的橫坐標m的取值范圍.(直接寫出答案)
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【題目】某電視臺的一檔娛樂性節(jié)目中,在游戲PK環(huán)節(jié),為了隨機分選游戲雙方的組員,主持人設(shè)計了以下游戲:用不透明的白布包住三根顏色長短相同的細繩AA1、BB1、CC1,只露出它們的頭和尾(如圖所示),由甲、乙兩位嘉賓分別從白布兩端各選一根細繩,并拉出,若兩人選中同一根細繩,則兩人同隊,否則互為反方隊員.
(1)若甲嘉賓從中任意選擇一根細繩拉出,求他恰好抽出細繩AA1的概率;
(2)請用畫樹狀圖法或列表法,求甲、乙兩位嘉賓能分為同隊的概率.
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