Question

如圖，直線與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)，且OA=OB=1，點(diǎn)P是反比例函數(shù)y=

1

2x

圖象在第一象限的分支上的任意一點(diǎn)，P點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b），由點(diǎn)P分別向x軸，y軸作垂線PM、PN，垂足分別為M、N；PM、PN分別與直線交于點(diǎn)E，點(diǎn)F．
（1）設(shè)交點(diǎn)E、F都在線段AB上，分別求出點(diǎn)E、點(diǎn)F的坐標(biāo)；（用含a的代數(shù)式表示）
（2）△AOF與△BOE是否一定相似？如果一定相似，請(qǐng)予以證明；如果不一定相似或一定不相似，請(qǐng)簡(jiǎn)短說(shuō)明理由；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在曲線上移動(dòng)時(shí)，△OEF隨之變動(dòng)，指出在△OEF的三個(gè)內(nèi)角中，大小始終保持不變的那個(gè)角和它的大小，并證明你的結(jié)論；
（4）在雙曲線y=

1

2x

上是否存在點(diǎn)P，使點(diǎn)P到直線AB的距離最短的點(diǎn)，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及最短距離；若不存在，說(shuō)明理由

Answer 1

分析：（1）設(shè)直線EF的解析式為y=kx+b，把A（1，0），B（0，1）代入y=kx+b，運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線EF的解析式，由點(diǎn)P（a，b）是反比例函數(shù)y=

1

2x

圖象上的點(diǎn)，得出b=

1

2a

，又點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為a，點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為b即

1

2a

，分別把x=a，y=

1

2a

代入直線EF的解析式，即可求出對(duì)應(yīng)的值，從而得出結(jié)果；
（2）在△BOE與△AOF中，由于∠OBA=∠OAB=45°，根據(jù)相似三角形的判定，可分別計(jì)算BE：OB與OA：AF的值，如果它們相等，那么△AOF∽△BEO，否則，就不相似；
（3）根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等及三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)外角的和得出∠FOE=∠EAO=45°；
（4）假設(shè)在雙曲線y=

1

2x

上存在點(diǎn)P，使點(diǎn)P到直線AB的距離最短．那么平行于AB的直線y=-x+m應(yīng)與雙曲線y=

1

2x

相切，即方程-x+m=

1

2x

有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，根據(jù)判別式△=0求出m的值，從而確定點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而得到點(diǎn)P到直線AB的最短距離．

解答：解：（1）設(shè)直線EF的解析式為y=kx+b，
由題知A（1，0），B（0，1），
把A（1，0），B（0，1）代入y=kx+b，
得k+b=0，b=1，
解得k=-1，b=1．
∴y=-x+1．
∵點(diǎn)P（a，b）是反比例函數(shù)y=

1

2x

圖象上的點(diǎn)，
∴b=

1

2a

．
∴E（a，1-a），F(xiàn)(1-

1

2a

，

1

2a

)；

（2）△AOF與△BOE一定相似．
理由如下：
∵OA=OB=1，
∴AB=

2

，∠OBA=∠OAB=45°，
∴AE=

2

AM=

2

(1-a)，BF=

2

BN=

2

(1-

1

2a

)，
∴BE=BA-AE=

2

a，AF=BA-BF=

2

2a

，
∴BE•AF=

2

2a

•

2

a=1=OA•OB=1，
∴

BE

OB

=

OA

AF

，
又∵∠OBA=∠OAB=45°，
∴△AOF∽△BEO；

（3）∠FOE=45°，角度始終不變．
理由如下：
∵△AOF∽△BEO，
∴∠FOA=∠OEB，
∴∠FOE+∠EOA=∠EOA+∠EAO，
得∠FOE=∠EAO=45°；

（4）設(shè)平行于直線AB的直線解析式為y=-x+m，
解方程-x+m=

1

2x

，
化簡(jiǎn)得2x²-2mx+1=0，
當(dāng)△=0時(shí)，解得m=±

2

（負(fù)值舍去）．
所以2x2-2

2

x+1=0，解得x=

2

2

．
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(

2

2

，

2

2

)．
∴點(diǎn)P到直線AB的距離最短為(

2

-1)×sin45°=1-

2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，相似三角形的判定及性質(zhì)，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的關(guān)系，通過(guò)解方程求交點(diǎn)坐標(biāo)等知識(shí)．綜合性強(qiáng)，有一定難度．