Question

已知點O是平面直角坐標系的原點，直線y=-x+m+n與雙曲線交于兩個不同的點A（m，n）（m≥2）和B（p，q）．直線y=-x+m+n與y軸交于點C，求△OBC的面積S的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：先確定直線y=-x+m+n與坐標軸的交點坐標，即C點坐標為（0，m+n），D點坐標為（m+n，0），則△OCD為等腰直角三角形，根據反比例函數的對稱性得到點A與點B關于直線y=x對稱，則B點坐標為（n，m），根據三角形面積公式得到S_△OBC=（m+n）•n，然后mn=1，m≥2確定S的范圍．
解答：解：如圖，C點坐標為（0，m+n），D點坐標為（m+n，0），則△OCD為等腰直角三角形，
∴點A與點B關于直線y=x對稱，則B點坐標為（n，m），
∴S=S_△OBC=（m+n）•n=mn+n²，
∵點A（m，n）在雙曲線上，
∴mn=1，即n=
∴S=+（）²
∵m≥2，
∴0＜≤，
∴0＜（）²≤，
∴＜S≤．
點評：本題考查了反比例函數圖象與一次函數的交點問題：反比例函數與一次函數的圖象的交點坐標滿足兩函數的解析式．也考查了一次函數的性質．