Question

如圖，在△ABC的AB、AC邊的外側(cè)作等邊△ACE和等邊△ABF，連接BE、CF相交于點O，
（1）求證：CF=BE；
（2）連AO，則：①AO平分∠BAC；②OA平分∠EOF，你認(rèn)為正確的是

②

（填①或②）．并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AB=AF，AC=AE，∠FAB=∠EAC=60°，則∠FAC=∠BAE，易證得△ABE≌△AFC，即可得到結(jié)論；
（2）連AO，過A分別作AP⊥CF與P，AQ⊥BE于Q，由（1）得△ABE≌△AFC，得到S_△ABE=S_△AFC，則AP=AQ，則OA不一定平分∠MAN，進而得出RT△AOP≌RT△AOM，則OA平分∠EOF．

解答：（1）證明：∵△ABF和△ACE是等邊三角形，
∴AB=AF，AC=AE，∠FAB=∠EAC=60°，
∴∠FAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
即∠FAC=∠BAE，
在△ABE與△AFC中，
AB=AF
∠BAE=FAC
AE=AC
∴△ABE≌△AFC（SAS），
∴BE=FC；

（2）解：連AO，過A分別作AP⊥CF與P，AM⊥BE于Q，如圖，
∵△ABE≌△AFC，
∴S_△ABE=S_△AFC，
∴

1

2

AP•CF=

1

2

AQ•BE，
而CF=BE，
∴AP=AQ，
∴OA不一定平分∠MAN，所以①錯誤；
∵在RT△AOP和RT△AOM中，

AP=AM AO=AO

，
∴RT△AOP≌RT△AOM（HL）
∴∠AOF=∠AOE，所以②正確．
故答案為②．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：如果兩邊對應(yīng)相等，且它們的夾角相等，那么這兩個三角形全等；全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．也考查了等邊三角形的性質(zhì)以及四點共圓的性質(zhì)和判定．