Question

如圖，AB是⊙P的直徑，弦CD∥AB，過(guò)點(diǎn)B的切線交AD的延長(zhǎng)線于E，連接AC并延長(zhǎng)至F，使CF=AC，連接EF．試判斷AF與EF的位置關(guān)系．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：先連接BC，交AE于G，由于AB是直徑，可知∠ACB=90°，根據(jù)AB∥CD，可得∠1=∠3，再根據(jù)同圓中同弧所對(duì)是圓周角相等，可得∠1=∠2，等量代換就有∠2=∠3，利用等角對(duì)等邊可得GA=GB，又知BE是切線，那么∠ABE=90°，于是∠2+∠AEB=90°，∠3+∠GBE=90°，易證∠GEB=∠GBE，于是GE=GB，從而有AG=GE，再結(jié)合CF=AC，可知CG是△AEF的中位線，根據(jù)中位線性質(zhì)可得BC∥EF，從而∠AFE=∠ACB=90°，即AF⊥EF．

解答：解：AF⊥EF．
連接BC，交AE于G，如右圖，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠3，
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴AG=BG，
∵BE是切線，
∴∠ABE=90°，
∴∠2+∠AEB=90°，∠3+∠GBE=90°，
∴∠GEB=∠GBE，
∴GE=GB，
∴AG=GE，
又∵AC=CF，
∴CG是△AEF的中位線，
∴BC∥EF，
∴∠AFE=∠ACB=90°，
即AF⊥EF．

點(diǎn)評(píng)：本題是圓的綜合題，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造直角三角形和平行線，并證明CG是△AEF的中位線．