Question

如圖1，△ABC中，AI、BI分別平分∠BAC、∠ABC．CE是△ABC的外角∠ACD的平分線，交BI延長線于E，連接CI．
（1）△ABC變化時，設(shè)∠BAC=2α．若用α表示∠BIC和∠E，那么∠BIC=______，∠E=______；
（2）若AB=1，且△ABC與△ICE相似，求相應(yīng)AC長；
（3）如圖2，延長AI交EC延長線于F．當△ABC形狀、大小變化時，圖中有哪些三角形始終與△ABI相似？寫出這些三角形，并選其中之一證明．

Answer 1

解：（1）90°+α，α．

（2））△ABC與△ICE相似，根據(jù)題意知∠ICE=90°，所以本題分三種情況：
①若∠BAC=90°，如圖1，易證∠EIC=45°，則△ABC為等腰直角三角形，∴AC=AB=1．
②∠ABC=90°，如圖2，推出∠E=∠BAC，∴△ABC∽△ICE，∴∠ACB=∠E=∠BAC，∴∠BAC=60°，∠ACB=30°，AC=2AB=2．
③∠ACB=90°，如圖3，同2，推出Rt△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=30°，AC=AB=．

（3）寫出：△EIF，△ECB，△ACF．
證明其中一個三角形與△AIB相似．如：△EIF∽△AIB．
證明：∵CE平分∠ACD，∴∠ECD=∠ACE=∠BCF=∠ACD．
同理可得出∠BAI=∠IAC=∠BAC，∠ABE=∠IBC=∠ABC．
∵∠ACD=∠BAC+∠ABC，
∴∠BCF=∠ECD=∠BAI+∠ABI=∠BIF，
∴∠ECB=∠EIF；
∵∠BEC=∠IEF，
∴△IEF∽△BCE；
∴∠EBC=∠F=∠ABI．
又∵∠BAI=∠IEF，
∴△BIA∽△FIE．
分析：（1）根據(jù)三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系可以用α表示∠BIC和∠E；
（2）△ABC與△ICE相似，根據(jù)題意知∠ICE=90°，可分三種情況討論并求出相應(yīng)AC長；
（3）共三對△EIF、△ECB、△ACF．以△EIF∽△ABI為例說明：由于∠ACD是△ABC的外角，可得出∠ACD=∠BAC+∠ABC；由于CE、IA、IB分別為∠ACD、∠BAC、∠ABC的角平分線，不難得出∠ECD=∠BCF=∠BIF=∠BAI+∠ABI，由此可得出∠BCE=∠EIF，即可證得△EIF∽△ECB；即∠EBC=∠F=∠ABI，再加上兩三角形中一組對頂角，即可證得所求的兩三角形相似．
點評：本題難度中等，考查相似三角形的判定和性質(zhì)，以及三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系．