Question

AB為⊙O直徑，AC，AD為⊙O的弦，AB=4，AC=2

2

，AD=2

3

，則∠CAD=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：垂徑定理,勾股定理

專(zhuān)題：分類(lèi)討論

分析：分類(lèi)討論：當(dāng)AD和AC在AB的同旁，如圖1，連結(jié)BD、BC，根據(jù)圓周角定理得到∠ACB=∠ADB=90°，在Rt△ACB中利用勾股定理計(jì)算出BC=2

2

，則△ABC為等腰直角三角形，所以∠BAC=45°；在Rt△ADB中，利用勾股定理計(jì)算出BD=2，則∠BAD=30°，然后分類(lèi)討論：當(dāng)AD和AC在AB的同旁，如圖1，∠CAD=∠BAC-∠BAD=15°；當(dāng)AD和AC在AB的兩旁，如圖2，∠CAD=∠BAC+∠BAD=75°．

解答：解：連結(jié)BD、BC，
∵AB為直徑，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
在Rt△ACB中，∵AB=4，AC=2

2

，
∴BC=

AB2-AC2

=2

2

，
∴△ABC為等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，
在Rt△ADB中，∵AB=4，AD=2

3

，
∴BD=

AB2-AD2

=2，
∴∠BAD=30°，
當(dāng)AD和AC在AB的同旁，如圖1，
∠CAD=∠BAC-∠BAD=45°-30°=15°；
當(dāng)AD和AC在AB的兩旁，如圖2，
則∠CAD=∠BAC+∠BAD=45°+30°=75°．
綜上所述，∠CAD的度數(shù)為15°或75°．
故答案為15°或75°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．也考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．