Question

如圖，在平面直角坐標系中，以點C（0，3）為圓心，5為半徑作圓，交x軸于A，B兩點，交y軸正半軸于P點，以點P為頂點的拋物線經過點A、B兩點．
（1）求出A，B兩點的坐標；
（2）求此拋物線的解析式．

Answer 1

考點：垂徑定理,待定系數法求二次函數解析式,勾股定理

專題：

分析：（1）連結AC，由題意得CO=3，AC=5，根據勾股定理求出AO的長，再由對稱軸的性質即可得出結論；
（2）根據CP=5得出OP=8，故可得出點P的坐標，利用待定系數法可求出拋物線的解析式．

解答：解：（1）連結AC，由題意得CO=3，AC=5．
∵CO⊥AO，
∴△ACO是直角三角形且∠ACO是直角，
∴AO=

AC2-CO2

=

52-32

=4．
∵由題意可得y軸是拋物線的對稱軸，
∴BO=AO=4．
∴點A坐標為（-4，0），點B的坐標為（4，0）．

（2）∵CP=5，
∴OP=CO+CP=3+5=8，
∴點P的坐標是（ 0，8），
∴可設拋物線解析式為y=ax²+8，
∵拋物線經過點A（-4，0），
∴a（-4）²+8=0
解得a=-

1

2

．
∴該拋物線的解析式為y=-

1

2

x²+8．

點評：本題考查的是垂徑定理，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵．