Question

已知：如圖，⊙O₁與⊙O₂內(nèi)切于P點(diǎn)，過P點(diǎn)作直線交⊙O₁于A點(diǎn)，交⊙O₂于B點(diǎn)，C為⊙O₁上一點(diǎn)，過B點(diǎn)作⊙O₂的切線交直線AC于Q點(diǎn)．
（1）求證：AC•AQ=AP•AB；
（2）若將兩圓內(nèi)切改為外切，其它條件不變，（1）中結(jié)論是否仍然成立？

 

請(qǐng)你畫出圖形，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）證明線段的乘積相等，可以轉(zhuǎn)化為證明線段成比例，即證明△ABQ∽△ACP，圍繞證明相似找條件；
（2）仍成立，仿照（1）的證明方法．

解答：（1）證明：過P點(diǎn)作兩圓的公切線MN，與QB的延長(zhǎng)線交于N點(diǎn)，連接PC，
∵BQ、MN是⊙O₂的切線，∴NB=NP，
∴∠QBA=∠NBP=∠NPB，
又∵M(jìn)N是⊙O₂的切線，
∴∠PCA=∠NPB，可得∠QBA=∠PCA，又∠A=∠A，
∴△ABQ∽△ACP，
∴

AC

AB

=

AP

AQ

，即AC•AQ=AP•AB；

（2）解：結(jié)論仍成立．
證明：過點(diǎn)P作兩圓的公切線MN，與BQ交于N點(diǎn)，連接PC，
因?yàn)锽Q是圓的切線，設(shè)MN與BQ交于點(diǎn)E，
則根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到NP=NB，
∴∠NPB=∠QBP=∠APM，
又∵∠APM=∠ACP，
∴∠QBP=∠ACP，
∴△ABQ∽△ACP，
∴AC•AQ=AP•AB仍成立．

點(diǎn)評(píng)：證明線段的乘積相等的問題一般是轉(zhuǎn)化為證明三角形相似的問題．