Question

（1）已知x、y滿足x²+y²+

5

4

=2x+y，求代數(shù)式

xy

x+y

的值．
（2）整數(shù)x，y滿足不等式x²+y²+1≤2x+2y，求x+y的值．
（3）同一價格的一種商品在三個商場都進行了兩次價格調(diào)整．甲商場：第一次提價的百分率為a，第二次提價的百分率為b，乙商場：兩次提價的百分率都是

a+b

2

（a＞0，b＞o），丙商場：第一次提價的百分率為b，第二次提價的百分率為a，則哪個商場提價最多？說明理由．

Answer 1

考點：完全平方公式,非負數(shù)的性質(zhì)：偶次方

專題：計算題

分析：對于（1），（2）兩個未知數(shù)一個等式或不等式，須運用特殊方法與手段方能求出x、y的值，由平方和想到完全平方公式及其逆用，解題的關(guān)鍵是拆項與重組；
對于（3）把三個商場經(jīng)兩次提價后的價格用代數(shù)式表示，作差比較它們的大�。�

解答：解：（1）由已知得，（x-1）²+（y-

1

2

）²=0，
根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)可得，x-1=0，y-

1

2

=0，
解得，x=1，y=

1

2

，
故

xy

x+y

=

1× 1 2

1+ 1 2

=

1

3

；
（2）原不等式可化為（x-1）²+（y-1）²≤1，且x、y為整數(shù)，
∵（x-1）²≥0，（y-1）²≥0，
∴可能有的結(jié)果是

x-1=0 y-1=0

或

x-1=±1 y-1=0

或

x-1=0 y-1=±1

，
解得

x=1 y=1

或

x=2 y=1

或

x=0 y=1

或

x=1 y=2

或

x=1 y=0

，
∴x+y=1或2或3．
（3）甲、乙、丙三個商場兩次提價后，價格分別為（1+a）（1+b）=1+a+b+ab；
（1+

a+b

2

）•（1+

a+b

2

）=1+（a+b）+（

a+b

2

）²；
（1+b）（1+a）=1+a+b+ab；
∵（

a+b

2

）²-ab＞0，
∴（

a+b

2

）²＞ab，
∴乙商場兩次提價后價格最高．

點評：本題考查的是完全平方公式及非負數(shù)的性質(zhì)，此類問題常常不能直接使用公式，而需要創(chuàng)造條件，使之符合乘法公式的特點，才能使用公式．常見的方法是：分組、結(jié)合，拆添項、字母化等．
完全平方公式逆用可得到兩個應(yīng)用廣泛的結(jié)論：
（1）a²±2ab+b²=（a±b）²≥0；揭示式子的非負性，利用非負數(shù)及其性質(zhì)解題．
（2）a²+b²≥2ab，應(yīng)用于代數(shù)式的最值問題．
代數(shù)等式的證明有以下兩種基本方法：
（1）由繁到簡，從一邊推向另一邊；（2）相向而行，尋找代換的等量．