Question

 在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線（a，c為常數(shù)）的頂點(diǎn)為P，等腰直角三角形ABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，﹣1），C的坐標(biāo)為（﹣4，3），直角頂點(diǎn)B在第二象限。

（1）如圖，若該拋物線過A，B兩點(diǎn)，求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）平移（1）中的拋物線，使頂點(diǎn)P在直線AC上滑動，且與AC交于另一點(diǎn)Q，若點(diǎn)M在直線AC下方，且為平移前（1）中的拋物線上的點(diǎn)，當(dāng)以M、P、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形時(shí)，求出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)。

Answer 1

解：（1）由題意，得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣4，﹣1），

∵拋物線過A（0，﹣1），B（﹣4，﹣1）兩點(diǎn)，

∴，解得。

∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：。

（2）∵A（0，﹣1），C（﹣4，3），∴直線AC的解析式為：。

設(shè)平移前拋物線的頂點(diǎn)為P₀，則由（1）可得P₀的坐標(biāo)為（﹣2，1），且P₀在直線AC上。

過點(diǎn)P作PE∥x軸，過點(diǎn)Q作QE∥y軸，則

PE=，QE=，

∴PQ==AP₀。

若△MPQ為等腰直角三角形，則可分為以下兩種情況：

①當(dāng)PQ為直角邊時(shí)：點(diǎn)M到PQ的距離為（即為PQ的長），

由A（0，﹣1），B（﹣4，﹣1），P₀（﹣2，1）可知，

△ABP₀為等腰直角三角形，且BP₀⊥AC，BP₀=。

如圖，過點(diǎn)B作直線l₁∥AC，交拋物線于點(diǎn)M，則M為符合條件的點(diǎn)。

∴可設(shè)直線l₁的解析式為：y=﹣x+b₁。

過點(diǎn)F作直線l₂∥AC，交拋物線于點(diǎn)M，則M為符合條件的點(diǎn)。

∴可設(shè)直線l₂的解析式為：y=﹣x+b₂，

∵F（﹣2，﹣1），∴﹣1=2+b₂，解得b₂=﹣3�！嘀本�l₂的解析式為：y=﹣x﹣3。

解方程組，得：，。

∴M₃（，），M₄（，）。

綜上所述，所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為：

M₁（﹣4，﹣1），M₂（2，﹣7），M₃（，），M₄（，）。

【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，平移問題，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，待定系數(shù)法的應(yīng)用，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，軸對稱的應(yīng)用（最短路線問題），平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，分類思想的應(yīng)用。

得直線（y=﹣x﹣5）與拋物線的交點(diǎn)，即為所求之M點(diǎn)。

②當(dāng)PQ為斜邊時(shí)：點(diǎn)M到PQ的距離為，此時(shí)，將直線AC向左平移2個(gè)單位后所得直線（y=﹣x﹣3）與拋物線的交點(diǎn)，即為所求之M點(diǎn)。