Question

如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為9的正方形紙片，B′為CD邊上的點(diǎn)，B′C=3．將紙片沿某條直線折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′，折痕分別與AD，BC邊交于點(diǎn)M，N．
（1）求BN的長(zhǎng)；
（2）求四邊形ABNM的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)得出AM=A′M，BN=B′N，BN=B′N=x，則CN=9-x，再利用勾股定理求出即可；
（2）首先求出NC的長(zhǎng)，即可得出BN，利用角相等三角函數(shù)值就相等，即可求出AM，即可得出答案．

解答：解：如圖．
（1）由題意，點(diǎn)A與點(diǎn)A′，
點(diǎn)B與點(diǎn)B′分別關(guān)于直線MN對(duì)稱，
∴AM=A′M，BN=B′N．
設(shè)BN=B′N=x，則CN=9-x．
∵正方形ABCD，
∴∠C=90°．
∴CN²+B′C²=B′N²．
∵B′C=3，
∴（9-x）²+3²=x²．
解得x=5．
∴BN=5．

（2）解：∵正方形ABCD，
∴AD∥BC，∠A=90°．
∵點(diǎn)M，N分別在AD，BC邊上，
∴四邊形ABNM是直角梯形．
∵BN=B′N=5，BC=9，
∴NC=4．
∴sin∠1=

4

5

，tan∠1=

4

3

．
∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠3=∠1．
∴sin∠3=sin∠1=

4

5

，
在Rt△DB′P中，∵∠D=90°，
DB′=DC-B′C=6，sin∠3=

DB′

PB′

=

4

5

，
∴PB′=

15

2

，
∵A′B′=AB=9，
∴A′P=A′B′-PB′=

3

2

，
∵∠4=∠3，
∴tan∠4=tan∠3=

4

3

，
在Rt△A′MP中，∵∠A′=∠A=90°，
A′P=

3

2

，tan∠4=

A′M

A′P

=

4

3

，
∴A'M=2．
∴S_梯形ABNM=

1

2

（AM+BN）×AB=

1

2

×（2+5）×9=

63

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了折疊問題與解直角三角形以及正方形的知識(shí)，解題過程中應(yīng)注意折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，以及解直角三角形時(shí)相等的角三角函數(shù)值相等．