Question

已知△ABC中，BC=a，AB=c，∠B=30°，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，求PA+PB+PC的最小值．

Answer 1

解：（1）若△ABC每個(gè)角小于120°時(shí)，只需將△BPC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△BP′C′，易知此時(shí)有BP=PP′，PC=P′C′，

從而PA+PB+PC=AP+PP′+P′C′≥AC′=，
當(dāng)A、P′、P、C′四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)取等號(hào)，最小值為；

（2）若有一個(gè)角大于120°時(shí)，此時(shí)以該點(diǎn)為中心，以180°減去該角大小為旋轉(zhuǎn)角進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，
①∠A≥120°時(shí)，當(dāng)P點(diǎn)與A重合時(shí)，PA+PB+PC最小，最小值為a+；
②∠C≥120°時(shí)，當(dāng)P點(diǎn)與C重合時(shí)，PA+PB+PC最小，最小值為a+．
故答案為：或a+．
分析：由費(fèi)馬點(diǎn)定理分△ABC每個(gè)角小于120°和一個(gè)角大于120°兩種情況作答，（1）若△ABC每個(gè)角小于120°時(shí)，將△BPC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△BP′C′由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短即可得出結(jié)論；
（2）若有一個(gè)角大于120°時(shí)，此時(shí)以該點(diǎn)為中心，以180°減去該角大小為旋轉(zhuǎn)角進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，再由余弦定理及兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短的知識(shí)即可得出結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短及費(fèi)馬點(diǎn)定理，熟知費(fèi)馬點(diǎn)定理是解答此題的關(guān)鍵．