如圖,在直角坐標(biāo)系內(nèi)有點(diǎn)P(1,1)、點(diǎn)C(1,3)和二次函數(shù)y=-x2
(1)若二次函數(shù)y=-x2的圖象經(jīng)過平移后以C為頂點(diǎn),請寫出平移后的拋物線的解析式及一種平移的方法;
(2)若(1)中平移后的拋物線與x軸交于點(diǎn)A、點(diǎn)B(A點(diǎn)在B點(diǎn)的左側(cè)),求cos∠PBO的值;
(3)在拋物線上是否存在一點(diǎn)D,使線段OC與PD互相平分?若存在,求出D點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說明理由.

解:(1)平移后以C為頂點(diǎn)的點(diǎn)拋物線解析式為y=-(x-1)2+3,
所以一種移動(dòng)方式是將y=-x2向右平移一個(gè)單位長度,再向上平移三個(gè)單位長度;

(2)由(1)知移動(dòng)后的拋物線解析式為y=-(x-1)2+3=x2+2x+2.
令-x2+2x+2=0,
解出x1=1-,x2=1+,
連接PB,過點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M,
∴BM=,PM=1,
根據(jù)勾股定理,PB===2,
∴cos∠PBO==;

(3)存在這樣的點(diǎn)D.
理由如下:欲使OC與PD互相平分,
只要使四邊形OPCD為平行四邊形,
由題設(shè)知,PC∥OD,
又PC=2,PC∥y軸,
∵點(diǎn)D在y軸上,
∴OD=2,
即D(0,2).
又點(diǎn)D(0,2)在拋物線y=-x2+2x+2上,
故存在點(diǎn)D(0,2),
即OD與PC平行且相等,使線段OC與PD相互平分.
分析:(1)根據(jù)平移只改變圖形的位置,不改變圖形的形狀與大小,利用頂點(diǎn)式解析式寫出平移后的拋物線解析式即可,根據(jù)頂點(diǎn)從坐標(biāo)原點(diǎn)到點(diǎn)C寫出平移方法;
(2)令y=0,求出點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo),過點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M,從而求出BM、PM的長度,再根據(jù)勾股定理求出PB的長度,最后根據(jù)余弦的定義列式求解即可;
(3)存在.根據(jù)互相垂直平分的四邊形是平行四邊形,可以證明當(dāng)點(diǎn)D為拋物線與y軸的交點(diǎn)時(shí),四邊形OPCD正好是平行四邊形.
點(diǎn)評:本題綜合考查了二次函數(shù)的問題,有平移變換的性質(zhì),拋物線與y軸的交點(diǎn)問題,勾股定理,余弦的定義,平行四邊形的性質(zhì),綜合性較強(qiáng)但難度不大,計(jì)算后利用數(shù)據(jù)的關(guān)系得解比較巧妙.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在直角坐標(biāo)系內(nèi),點(diǎn)B、C在x軸的負(fù)半軸上,點(diǎn)A在y軸的負(fù)半軸上.以AC為直徑的圓與精英家教網(wǎng)AB的延長線交于點(diǎn)D,弧CD=弧AO,如果AB=10,AO>BO,且AO、BO是x的二次方程x2+kx+48=0的兩個(gè)根.
(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)若點(diǎn)P在直徑AC上,且AP=
14
AC,判斷點(diǎn)(-2,-10)是否在過D、P兩點(diǎn)的直線上,并說明理由.

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如圖,在直角坐標(biāo)系內(nèi),過點(diǎn)C(3,6)分別作x軸和y軸的垂線CB和CA,垂足分別為B和A,點(diǎn)P從點(diǎn)O沿OB向B以1個(gè)長度單位/秒的速度運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q從點(diǎn)B沿BC向C以2個(gè)長度單位/秒的速度運(yùn)動(dòng).如果P、Q分別從O、B同時(shí)出發(fā),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t,試求:
(1)t為何值時(shí),△PBQ的面積等于2個(gè)平方單位;
(2)若P、B、Q三點(diǎn)構(gòu)成的三角形與A、B、C三點(diǎn)構(gòu)成的三角形相似,求此時(shí)P和Q點(diǎn)的坐標(biāo).
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如圖,在直角坐標(biāo)系內(nèi),已知等腰梯形ABCD,AD∥BC∥x軸,AB=CD,AD=2,BC=8,AB=5,B點(diǎn)的坐標(biāo)是(-1,5).
(1)直接寫出下列各點(diǎn)坐標(biāo).A(,)C(,)D(,);
(2)等腰梯形ABCD繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的表面積(保留π);
(3)直接寫出拋物線y=x2左右平移后,經(jīng)過點(diǎn)A的函數(shù)關(guān)系式;
(4)若拋物線y=x2可以上下左右平移后,能否使得A,B,C,D四點(diǎn)都在拋物線上?若能,請說理由;若不能,將“拋物線y=x2”改為“拋物線y=mx2”,試確定m的值,使得拋物線y=mx2經(jīng)過上下左右平移后能同時(shí)經(jīng)過A,B,C,D四點(diǎn).
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如圖,在直角坐標(biāo)系內(nèi),O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0),點(diǎn)B在x軸上且在點(diǎn)A的右端,OA=AB,分別過點(diǎn)A、B作x軸的垂線,與二次函數(shù)y=x2的圖象交于C、D兩點(diǎn),分別過點(diǎn)C、D作y軸的垂線,交y軸于點(diǎn)E、F,直線CD交y軸于點(diǎn)H.
(1)驗(yàn)證:S矩形OACE:S梯形ECDF=2:9;
(2)如果點(diǎn)A的坐標(biāo)改為(t,0)(t>0),其他條件不變,(1)的結(jié)論是否成立?請說明理由.
(3)如果點(diǎn)A的坐標(biāo)改為(t,0)(t>0),二次函數(shù)改為y=ax2(a>0),其他條件不變,記點(diǎn)C、D的橫坐標(biāo)分別為xC、xD,點(diǎn)H的橫坐標(biāo)為yH,試證明:xCxD=-
1a
yH

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