Question

如圖，已知拋物線（b，c是常數(shù)，且c<0）與x軸分別交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－1，0)．

（1）b＝　 　  ，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為　 　  （上述結(jié)果均用含c的代數(shù)式表示）；

（2）連接BC，過點(diǎn)A作直線AE∥BC，與拋物線交于點(diǎn)E．點(diǎn)D是x軸上一點(diǎn)，其坐標(biāo)為

(2，0)，當(dāng)C，D，E三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，求拋物線的解析式；

（3）在（2）的條件下，點(diǎn)P是x軸下方的拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，連接PB，PC，設(shè)所得△PBC的面積為S．

    ①求S的取值范圍；

②若△PBC的面積S為整數(shù)，則這樣的△PBC共有　 　  個(gè)．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）；。

（2）在中，令x=0，得y=c，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（c，0）。

設(shè)直線BC的解析式為，

∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為(－2 c，0)，∴。

∵，∴。

∴直線BC的解析式為。

∵AE∥BC，∴可設(shè)直線AE的解析式為。

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－1，0)，∴，。

∴直線AE的解析式為。

由解得。

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為。

∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，0），∴直線CD的解析式為。

∵點(diǎn)C，D，E三點(diǎn)在同一直線上，∴。

∴，解得（舍去）。

∴。

∴拋物線的解析式為。

（3）①設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－1，0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4，0)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，－2），

∴AB=5，OC=2，直線CB的解析式為。

當(dāng)時(shí)，，

∵，∴。

當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)P作PG⊥x軸于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)F，

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為。

∴。

∴。

∴當(dāng)x=2時(shí)，�！� 。

綜上所述，S的取值范圍為。

②11。

【解析】

試題分析：（1）將點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－1，0)代入得。

∴。

令，解得。

∴點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為。

（2）求出直線BC的解析式，從而求出直線AE的解析式，得到點(diǎn)E的坐標(biāo)為，由點(diǎn)C，D，E三點(diǎn)在同一直線上，將代入直線CD的解析式即可求出c，由（1）求出b，從而得到拋物線的解析式。

（3）①分和兩種情況討論。

②當(dāng)時(shí)，，且S為整數(shù)，對(duì)應(yīng)的x有4個(gè)；

當(dāng)時(shí)，，，且S為整數(shù)，對(duì)應(yīng)的x有7個(gè)（時(shí)只有1個(gè)）。

∴若△PBC的面積S為整數(shù)，則這樣的△PBC共有11個(gè)。