Question

如圖，在菱形ABCD中，AB=BD，點(diǎn)E、F分別是AB、AD上任意的點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），且AE=DF，連接BF與DE相交于點(diǎn)G，連接CG與BD相交于點(diǎn)H．給出如下幾個(gè)結(jié)論：

①△AED≌△DFB；②S_{四邊形BCDG}=CG²；③若AF=2DF，則BG=6GF；④CG與BD一定不垂直；⑤∠BGE的大小為定值．

其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為（　　）

　  A．4            B． 3               C． 2               D． 1

Answer 1

B   解：①∵ABCD為菱形，∴AB=AD，

∵AB=BD，∴△ABD為等邊三角形，

∴∠A=∠BDF=60°，

又∵AE=DF，AD=BD，

∴△AED≌△DFB，故本選項(xiàng)正確；

②∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°=∠BCD，

即∠BGD+∠BCD=180°，

∴點(diǎn)B、C、D、G四點(diǎn)共圓，

∴∠BGC=∠BDC=60°，∠DGC=∠DBC=60°，

∴∠BGC=∠DGC=60°，

過點(diǎn)C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N（如圖1），

則△CBM≌△CDN（AAS），

∴S_{四邊形BCDG}=S_{四邊形CMGN，}

S_{四邊形CMGN}=2S_△CMG，

∵∠CGM=60°，

∴GM=CG，CM=CG，

∴S_{四邊形CMGN}=2S_△CMG=2××CG×CG=CG²，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

③過點(diǎn)F作FP∥AE于P點(diǎn)（如圖2），

∵AF=2FD，

∴FP：AE=DF：DA=1：3，

∵AE=DF，AB=AD，

∴BE=2AE，

∴FP：BE=FP：=1：6，

∵FP∥AE，

∴PF∥BE，

∴FG：BG=FP：BE=1：6，

即BG=6GF，故本選項(xiàng)正確；

④當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AD中點(diǎn)時(shí)（如圖3），

由（1）知，△ABD，△BDC為等邊三角形，

∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AD中點(diǎn)，

∴∠BDE=∠DBG=30°，

∴DG=BG，

在△GDC與△BGC中，

，

∴△GDC≌△BGC，

∴∠DCG=∠BCG，

∴CH⊥BD，即CG⊥BD，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

⑤∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°，為定值，

故本選項(xiàng)正確；

綜上所述，正確的結(jié)論有①③⑤，共3個(gè)，

故選B．