Question

【題目】（本題滿分11分）讓我們一起探索有趣的“皮克定理”：用水平線和豎直線將平面分成若干個(gè)邊長為1的小正方形格子，小正方形的頂點(diǎn)，叫格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形叫格點(diǎn)多邊形．設(shè)格點(diǎn)多邊形的面積為S，它各邊上格點(diǎn)的個(gè)數(shù)和為x．

．

（1）上圖中的格點(diǎn)多邊形，其內(nèi)部都只有一個(gè)格點(diǎn)，請(qǐng)完成下表，并寫出S與x之間的關(guān)系式：S=______．

（2）探索：在上面網(wǎng)格圖中畫出四個(gè)格點(diǎn)多邊形，其內(nèi)部都只有兩個(gè)格點(diǎn)，并寫出所畫的各個(gè)多邊形的面積S與它各邊上格點(diǎn)的個(gè)數(shù)和x之間的關(guān)系式：S=______；

（3）猜想：當(dāng)格點(diǎn)多邊形內(nèi)部有且只有n個(gè)格點(diǎn)時(shí)，S與x之間的關(guān)系式是：S=______．

Answer 1

【答案】（1），3 ， ；（2）作圖見解析， ＋1；（3）＋（n-1）．

【解析】試題分析：（1）分別算出②和③的面積，再探索規(guī)律；（2）先畫出四個(gè)圖形，再求出四個(gè)圖形的面積，最后探索面積S和x的關(guān)系；（3）由（1）（2）問求出的S與x的關(guān)系探索規(guī)律.

解：（1）圖②的面積為S=4-×1×2-×1×1=，圖③的面積為S=4-×1×1-×1×1=3，

根據(jù)2， ，3，4對(duì)應(yīng)4，5，6，8，可知S和x的關(guān)系為S=x；

故答案為，3， .

（2）如圖，分別畫出四個(gè)格點(diǎn)多邊形⑤⑥⑦⑧，其內(nèi)部都只有兩個(gè)格點(diǎn).

圖⑤中x=3，S=；圖⑥中，x=4，S=3；圖⑦中，x=5,S=；圖⑧中，x=6，S=4.

則可知此時(shí)S= ＋1；

（3）當(dāng)n=1時(shí)，S= ；

當(dāng)n=2時(shí)，S= ＋1.

則可知＋（n-1）.