Question

4．如圖，?ABCD中，AB=2BC，點A，B為雙曲線y=$\frac{12}{x}$在第一象限上的兩個點，點C、D在坐標軸上．
（1）若點A的橫坐標為x，點B的橫坐標為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若?ABCD為矩形，求點A的坐標．

Answer 1

分析 （1）如圖1，根據(jù)反比例函數(shù)的關(guān)系式設(shè)出A、B兩點的坐標，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及三角形全等寫出點C和D的坐標，由AB=2BC和勾股定理列等式，可求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）如圖2，利用（1）的結(jié)論，因為?ABCD為矩形，可證得△DOC∽△CEB，并知道相似比為2，列方程組，解出即可，并取舍，寫出點A的坐標．

解答 解：（1）如圖1，過B作BE⊥x軸于E，
由題意得：A（x，$\frac{12}{x}$），B（y，$\frac{12}{y}$），
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AD=BC，
∴C（y-x，0），D（0，$\frac{12}{x}$-$\frac{12}{y}$），
由勾股定理得：DC²=（y-x）²+（$\frac{12}{x}-\frac{12}{y}$）²，
BC²=x²+$（\frac{12}{y}）^{2}$，
∵AB=2BC，AB=CD，
∴AB²=4BC²，
∴（y-x）²+（$\frac{12}{x}-\frac{12}{y}$）²=4[x²+$（\frac{12}{y}）^{2}$]，
∴（x²y²+12²）（y-3x）（y+x）=0，
∵x＞0，y＞0，
∴y-3x=0，
∴y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為：y=3x；
（2）如圖2，過B作BE⊥x軸于E，
由（1）得：OC=y-x，OD=$\frac{12}{x}-\frac{12}{y}$，CE=x，BE=$\frac{12}{y}$，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠DCB=90°，
∴△DOC∽△CEB，
∵DC=2BC，
∴相似比為2，
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{12}{x}-\frac{12}{y}=2x}\\{y-x=2×\frac{12}{y}}\end{array}\right.$      且x＞0，y＞0，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=6}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2\sqrt{3}}\\{y=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
當x=2$\sqrt{3}$，y=2$\sqrt{3}$時，A、B重合，不能構(gòu)成矩形，不符合題意，舍去，
∴A（2，6）．

點評 本題是反比例函數(shù)、平行四邊形、矩形的綜合題，考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特點及平行四邊形、矩形的性質(zhì)；計算量較大；本題的關(guān)鍵是利用AB=2BC列式計算．