Question

如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD的邊BC的中點(diǎn)，∠MEA=∠BEA．EM交CD于F，交AD的延長(zhǎng)線于M，下列結(jié)論：①AM=EM；②AE²=2BE•EM；③EF=2MF．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（　　）

A．0個(gè)

B．1個(gè)

C．2個(gè)

D．3個(gè)

Answer 1

分析：由正方形的性質(zhì)，∠MEA=∠BEA，易證得∠EAD=∠MEA，即可得AM=EM；
過(guò)點(diǎn)M作MN⊥AE于點(diǎn)N，易證得△MEN∽△AEB，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例與等腰三角形的性質(zhì)，易證得AE²=2BE•EM；
首先過(guò)點(diǎn)M作MK∥CD，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K，設(shè)DM=y，CE=BE=x，利用勾股定理，可得x=2y，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，可證得EF=2MF．

解答：解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠EAD=∠BEA，
∵∠MEA=∠BEA，
∴∠EAD=∠MEA，
∴AM=EM；
故①正確；
過(guò)點(diǎn)M作MN⊥AE于點(diǎn)N，
∵AM=EM，
∴AN=EN=

1

2

AE，
∴∠MNE=∠B=90°，
∵∠MEA=∠BEA，
∴△MEN∽△AEB，
∴

EM

AE

=

EN

BE

，
∴EN•AE=BE•EM，
∴

1

2

AE²=BE•EM，
即AE²=2BE•EM；
故②正確；
過(guò)點(diǎn)M作MK∥CD，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K，
在四邊形DMKC是矩形，
∴MK=CD，CK=DM，
設(shè)DM=y，CE=BE=x，
則AD=CD=BC=2x，EM=AM=AD+DM=2x+y，EK=CE+CK=x+y，
∴MK=CD=2x，
在Rt△MEK中，MK²+EK²=EM²，
∴（2x）²+（x+y）²=（2x+y）²，
∴x=2y，
∴CE：DM=2，
∵AD∥BC，
∴△CEF∽△DMF，
∴EF：MF=CE：DM=2，
∴EF=2MF．
故③正確．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理以及等腰三角形的判定與性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．