Question

已知，BC∥OA，∠B=∠A=100°，試回答下列問(wèn)題：
（1）如圖1所示，求證：OB∥AC；
（2）如圖2，若點(diǎn)E、F在BC上，且滿足∠FOC=∠AOC，并且OE平分∠BOF．試求∠EOC的度數(shù)；
（3）在（2）的條件下，若平行移動(dòng)AC，如圖3，那么∠OCB：∠OFB的值是否隨之發(fā)生變化？若變化，試說(shuō)明理由；若不變，求出這個(gè)比值；
（4）附加題：在（3）的條件下，如果平行移動(dòng)AC的過(guò)程中，若使∠OEB=∠OCA，此時(shí)∠OCA度數(shù)等于

 

．（在橫線上填上答案即可）．

Answer 1

分析：（1）由同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行證明．
（2）由∠FOC=∠AOC，并且OE平分∠BOF得到∠EOC=∠EOF+∠FOCP=

1

2

（∠BOF+∠FOA）=

1

2

∠BOA，算出結(jié)果．
（3）先得出結(jié)論，再證明．
（4）由（2）（3）的結(jié)論可得．

解答：解：（1）∵BC∥OA，
∴∠B+∠O=180°；
∵∠A=∠B，
∴∠A+∠O=180°，
∴OB∥AC．（3分）

（2）∵∠A=∠B=100°，
由（1）得∠BOA=180°-∠B=80°；
∵∠FOC=∠AOC，并且OE平分∠BOF，
∴∠EOF=

1

2

∠BOF∠FOC=

1

2

∠FOA，
∴∠EOC=∠EOF+∠FOC=

1

2

（∠BOF+∠FOA）=

1

2

∠BOA=40°．（3分）

（3）結(jié)論：∠OCB：∠OFB的值不發(fā)生變化．理由為：
∵BC∥OA，
∴∠FCO=∠COA，
又∵∠FOC=∠AOC，
∴∠FOC=∠FCO，
∴∠OFB=∠FOC+∠FCO=2∠OCB，
∴∠OCB：∠OFB=1：2．（4分）

（4）由（1）知：OB∥AC，∴∠OCA=∠BOC，
由（2）可以設(shè)：∠BOE=∠EOF=α，∠FOC=∠COA=β，
∴∠OCA=∠BOC=2α+β
∠OEB=∠EOC+∠ECO=α+β+β=α+2β
∵∠OEB=∠OCA
∴2α+β=α+2β
∴α=β
∵∠AOB=80°，∴α=β=20°
∴∠OCA=2α+β=40°+20°=60°．
故答案是：60°．（3分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查平移和平行線的性質(zhì)的有關(guān)知識(shí)．平移的基本性質(zhì)是：①平移不改變圖形的形狀和大小；②經(jīng)過(guò)平移，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行且相等，對(duì)應(yīng)線段平行且相等，對(duì)應(yīng)角相等．