Question

如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，點(diǎn)D是AB上一點(diǎn)，且DB=BC，DE平行BC，點(diǎn)P為AC邊上的點(diǎn)，DB=DP．
（1）求證：∠BDP=2∠PBC；
（2）若∠EDP的平分線交BP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，求證：FC+FD=

2

BF．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專(zhuān)題：證明題

分析：（1）根據(jù)DB=BC就可以得出∠3=∠4=90°-∠PBC，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理就可以求出結(jié)論；
（2）先由平行線的性質(zhì)得出∠BDE=90°，進(jìn)而得出∠EDP=90°-2∠PBC，由平分線的性質(zhì)可以得出∠1=∠2=45°-∠PBC，進(jìn)而求出∠5的度數(shù)，作BG⊥BF交FD延長(zhǎng)線于G得出，由勾股定理就可以得出FG=FD+DG=

2

BF，證明△CBF≌△DBG就可以得出FC=DG，進(jìn)而得出結(jié)論．

解答：解：（1）∵BD=BP，
∴∠3=∠4．
∵∠ABC=90°，
∴∠3=90°-∠PBC．
∵∠BDP=180°-∠3-∠4
∴∠BDP=180°-2∠3，
∴∠BDP=180°-2（90°-∠PBC）=2∠PBC
（2）∵DE∥BC
∴∠ABC=∠ADE．
∵∠ABC=90°，
∴∠ADE=90°，
∴∠BDE=90°，
∴∠EDP=90°-∠BDP=90°-2∠PBC．
∵DF平分∠EDP
∴∠1=∠2=

1

2

∠EDP=45°-∠PBC
∵∠4=∠3=90°-∠PBC
∴∠5=∠4-∠1=（90°-∠PBC）-（45°-∠PBC）=45°
如圖所示，過(guò)B作BG⊥BF交FD延長(zhǎng)線于G
∴△BFG是等腰直角三角形
∴BG=BF；FG=FD+DG=

2

BF
∴∠DBG=90°-∠DBP=∠CBF
在△CBF和△DBG中

CB=DB ∠CBF=∠DBG BF=BG

，
∴△CBF≌△DBG（SAS），
∴FC=DG．
∴FC+FD=

2

BF

點(diǎn)評(píng)：本題考查了角平分線的性質(zhì)的運(yùn)用，平行線的性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系的運(yùn)用，三角形的內(nèi)角和定理的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．