如圖,四邊形ABCD是正方形,點P是BC上任意一點,DE⊥AP于點E,BF⊥AP于點F,CH⊥DE于點H,BF的延長線交CH于點G.
(1)求證:AF-BF=EF;
(2)四邊形EFGH是什么四邊形?并證明;
(3)若AB=2,BP=1,求四邊形EFGH的面積.

(1)證明:∵DE⊥AP于點E,BF⊥AP于點F,CH⊥DE于點H,
∴∠AFB=∠AED=∠DHC=90°,
∴∠ADE+∠DAE=90°,
又∵∠DAE+∠BAF=90°,
∴∠ADE=∠BAF,
在△AED和△BFA中,
,
∴△AED≌△BFA,
∴AE=BF,
∴AF-AE=EF,即AF-BF=EF;

(2)證明:
∵∠AFB=∠AED=∠DHC=90°,
∴四邊形EFGH是矩形,
∵△AED≌△BFA,同理可得:△AED≌△DHC,
∴△AED≌△BFA≌△DHC,
∴DH=AE=BF,AF=DE=CH,
∴DE-DH=AF-AE,
∴EF=EH,
∴矩形EFGH是正方形;

(3)解:∵AB=2,BP=1,
∴AP=,
∵S△ABP=×BF×AP=×BF×=1×2×
∴BF=,
∵∠BAF=∠PAB,∠AFB=∠ABP=90°,
∴△ABF∽△APB,
==,
∴AF=,
∴EF=AF-AE=-=,
∴四邊形EFGH的面積為:(2=
分析:(1)利用全等三角形的判定首先得出△AED≌△BFA,進而得出AE=BF,即可證明結論;
(2)首先得出四邊形EFGH是矩形,再利用△AED≌△BFA,同理可得:△AED≌△DHC,進而得出EF=EH,即可得出答案;
(3)首先求出AP的長,再利用三角形面積關系得出BF,AF的長,進而求出EF的長即可得出答案.
點評:此題主要考查了正方形的判定以及全等三角形的判定與性質,利用已知得出BF=AE以及求出EF的長是解題關鍵.
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如圖,四邊形ABCD的對角線AC與BD互相垂直平分于點O,設AC=2a,BD=2b,請推導這個四邊形的性質.(至少3條)
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(I)求證:AE=EF;
(Ⅱ)若將條件中的“點E是BC的中點”改為“E是BC上任意一點”,其余條件不變,則結論AE=EF還成立嗎?若成立,請證明;若不成立,請說明理由.

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