Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）若拋物線交軸于點(diǎn)，在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)，使得的周長最小？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，當(dāng)的周長最小時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．

【解析】

（1）直接利用待定系數(shù)求出二次函數(shù)解析式即可；
（2）首先求出直線BC的解析式，再利用軸對(duì)稱求最短路線的方法得出答案.

（1）拋物線與軸交于兩點(diǎn)

解得：

該拋物線的解析式為

（2）該拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)，使得的周長最�。�

如解圖所示，作點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，

交對(duì)稱軸于點(diǎn)，連接，

點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，且，交對(duì)稱軸于點(diǎn)

，

的周長為，

為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，

的周長，

當(dāng)點(diǎn)處在解圖位置時(shí)，的周長最�。�

在中，當(dāng)時(shí)，，

，

，

拋物線的對(duì)稱軸為直線，

點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸直線的對(duì)稱點(diǎn)，且．

設(shè)過點(diǎn)兩點(diǎn)的直線的解析式為：，

在直線上，

，解得：，

直線的解析式為：，

拋物線對(duì)稱軸為直線，且直線與拋物線對(duì)稱軸交于點(diǎn)，

在中，當(dāng)時(shí)，，

，

在該拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)，使得的周長最小，當(dāng)的周長最小時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為