Question

如圖，對稱軸為直線的拋物線與x軸相交于A、B兩點，其中A點的坐標為（－3，0）。

（1）求點B的坐標；
（2）已知，C為拋物線與y軸的交點。
①若點P在拋物線上，且，求點P的坐標；
②設點Q是線段AC上的動點，作QD⊥x軸交拋物線于點D，求線段QD長度的最大值。

Answer 1

解：（1）∵A、B兩點關于對稱軸對稱 ，且A點的坐標為（－3，0），
∴點B的坐標為（1，0）。
（2）①∵拋物線，對稱軸為，經過點A（－3，0），
∴，解得。
∴拋物線的解析式為。
∴B點的坐標為（0，－3）。∴OB=1，OC=3�！�。
設點P的坐標為，則。
∵，∴，解得。
當時，；當時，，
∴點P的坐標為（2，5）或（－2，－3）。
②設直線AC的解析式為，將點A，C的坐標代入，得：
，解得：。
∴直線AC的解析式為。
∵點Q在線段AC上，∴設點Q的坐標為。
又∵QD⊥x軸交拋物線于點D，∴點D的坐標為。
∴。
∵，∴線段QD長度的最大值為。

（1）由拋物線的對稱性直接得點B的坐標。
（2）①用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，從而可得點C的坐標，得到，設出點P 的坐標，根據(jù)列式求解即可求得點P的坐標。
②用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，由點Q在線段AC上，可設點Q的坐標為，從而由QD⊥x軸交拋物線于點D，得點D的坐標為，從而線段QD等于兩點縱坐標之差，列出函數(shù)關系式應用二次函數(shù)最值原理求解。