Question

【題目】（知識情境）通常情況下，用兩種不同的方法計算同一個圖形的面積，可以得到一個恒等式．

（1）如圖1，在邊長為的正方形中挖掉一個邊長為的小正方形．把余下的部分剪拼成一個長方形（如圖2）．通過計算圖形（陰影部分）的面積，驗證了一個等式，則這個等式是______________；

（拓展探究）類似地，用兩種不同的方法計算同一個幾何體的體積，也可以得到一個恒等式．

如圖3是邊長為的正方體，被如圖所示的分割線分成塊．

圖3

（2）用不同的方法計算這個正方體的體積，就可以得到一個恒等式，這個恒等式可以為：

_________________________________________________________________；

（3）已知，，利用上面的恒等式求的值．

Answer 1

【答案】（1）a2-b2=(a+b)(a-b)（2）（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3（3）40

【解析】

（1）根據(jù)平方差公式的幾何驗證方法即可求解；

（2）根據(jù)正方體的體積公式和給出的條件即可得出答案；

（3）根據(jù)（2）得出的式子再進行轉(zhuǎn)化，然后把a＋b＝4，ab＝2代入計算即可得出答案．

（1）圖1的面積為：a2-b2, 圖2的面積為(a+b)(a-b)

∴這個等式是a2-b2=(a+b)(a-b)

故答案為：a2-b2=(a+b)(a-b)；

（2）圖3的體積為：（a＋b）3或a3＋3a2b＋3ab2＋b3

∴這個等式是（a＋b）3=a3＋3a2b＋3ab2＋b3

故答案為：（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3；

（3）由（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3

得：（a＋b）3＝a3＋3ab（a＋b）＋b3，

將a＋b＝4，ab＝2代入a3＋3ab（a＋b）＋b3

得：43＝a3＋3×2×4＋b3，

∴a3＋b3＝6424＝40．