【題目】如圖,已知BAD和BCE均為等腰直角三角形,BAD=BCE=90°,點(diǎn)M為DE的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)E與AD平行的直線交射線AM于點(diǎn)N.

(1)當(dāng)A,B,C三點(diǎn)在同一直線上時(shí)(如圖1),求證:M為AN的中點(diǎn);

(2)將圖1中的BCE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn),當(dāng)A,B,E三點(diǎn)在同一直線上時(shí)(如圖2),求證:ACN為等腰直角三角形;

(3)將圖1中BCE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到圖3位置時(shí),(2)中的結(jié)論是否仍成立?若成立,試證明之,若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)ACN仍為等腰直角三角形

【解析】

試題分析:(1)由ENAD和點(diǎn)M為DE的中點(diǎn)可以證到ADM≌△NEM,從而證到M為AN的中點(diǎn).

(2)易證AB=DA=NE,ABC=NEC=135°,從而可以證到ABC≌△NEC,進(jìn)而可以證到AC=NC,ACN=BCE=90°,則有ACN為等腰直角三角形.

(3)延長(zhǎng)AB交NE于點(diǎn)F,易得ADM≌△NEM,根據(jù)四邊形BCEF內(nèi)角和,可得ABC=FEC,從而可以證到ABC≌△NEC,進(jìn)而可以證到AC=NC,ACN=BCE=90°,則有ACN為等腰直角三角形.

試題解析:(1)如圖1,

ENAD,

∴∠MAD=MNE,ADM=NEM.

點(diǎn)M為DE的中點(diǎn),

DM=EM.

ADM和NEM中,

∴△ADM≌△NEM.

AM=MN.

M為AN的中點(diǎn).

(2)如圖2,

∵△BAD和BCE均為等腰直角三角形,

AB=AD,CB=CE,CBE=CEB=45°.

ADNE,

∴∠DAE+NEA=180°.

∵∠DAE=90°,

∴∠NEA=90°.

∴∠NEC=135°.

A,B,E三點(diǎn)在同一直線上,

∴∠ABC=180°﹣CBE=135°.

∴∠ABC=NEC.

∵△ADM≌△NEM(已證),

AD=NE.

AD=AB,

AB=NE.

ABC和NEC中,

∴△ABC≌△NEC.

AC=NC,ACB=NCE.

∴∠ACN=BCE=90°.

∴△ACN為等腰直角三角形.

(3)ACN仍為等腰直角三角形.

證明:如圖3,延長(zhǎng)AB交NE于點(diǎn)F,

ADNE,M為中點(diǎn),

易得ADM≌△NEM,

AD=NE.

AD=AB,

AB=NE.

ADNE,

AFNE,

在四邊形BCEF中,

∵∠BCE=BFE=90°

∴∠FBC+FEC=360°﹣180°=180°

∵∠FBC+ABC=180°

∴∠ABC=FEC

ABC和NEC中,

∴△ABC≌△NEC.

AC=NC,ACB=NCE.

∴∠ACN=BCE=90°.

∴△ACN為等腰直角三角形.

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