Question

已知如圖，AD∥BC，∠ABC=90^o，AB=BC，點(diǎn)E是AB上的點(diǎn)，∠ECD=45^o，連接ED，過(guò)D作DF⊥BC于F.

（1）若∠BEC=75^o，F(xiàn)C=4，求梯形ABCD的周長(zhǎng)。（4分）
（2）求證：ED=BE+FC.（6分）

Answer 1

（1）12+4 （2）通過(guò)證明△DEC≌△EGC（AAS），得ED="EG" 從而得ED="BE+FC"

試題分析：

（1）∵∠ABC=90^o，∠BEC=75^o，
∴∠ECB=15^o，∵∠ECD=45^o，∴∠DCF=60^o
在Rt△DFC中：∠DCF=60^o，F(xiàn)C=4， ∴DF=4，DC="8"
由題得，四邊形ABFD是矩形∴AB=DF=4，
∵AB=BC，∴BC=4，
∴BF=BC－FC=4－4，∴AD=BF=4－4
∴梯形ABCD的周長(zhǎng)為：4+4+8+4－4=12+4
（2）延長(zhǎng)EB至G，使BG=CF，連接CG
∵∠CBG=∠DFC=90^o，DF="AB=BC" ∴△CBG≌△DFC（SAS）
∴∠CDF=∠GCB，∵∠CDF+∠DCF=90^o，∴∠GCB+∠DCF=90^o
∵∠DCE=45^o，∴∠ECG=45^o
∴∠DCE=∠ECG ∴△DEC≌△EGC（AAS），∴ED="EG"
∴ED="BE+FC"
點(diǎn)評(píng)：本題考查矩形，梯形、全等三角形，解答本題需要考生熟悉矩形的性質(zhì)，梯形的性質(zhì)，掌握三角形全等的判定方法，以及全等三角形的性質(zhì)