Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，過點A作AE⊥BC，垂足為E，連接DE，F(xiàn)為線段DE上一點，且∠AFE=∠B.

（1）求證：△ADF∽△DEC；

（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的長．

 

Answer 1

【答案】

(1)詳見解析；（2）6.

【解析】

試題分析：（1）利用平行四邊形的對邊互相平行，可證得∠ADE=∠DEC, ∠C+∠B=180°,再利用等角的補角相等，可證得∠C=∠AFD,根據(jù)相似三角形的判定：有兩個角分別相等的兩個三角形相似.即可證明△ADF∽△DEC.(2)由（1）可知△ADF∽△DEC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可列比例式,可求出DE的值，在直角三角形ADE中，根據(jù)勾股定理可求出AE的值.

試題解析：（8分）（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC，

∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC．

∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，

∴∠AFD=∠C．

在△ADF與△DEC中，

∴△ADF∽△DEC．

（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD=AB=8．

由（1）知△ADF∽△DEC，

∴，∴DE===12．

在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE===6．

考點：1、相似三角形的判定；2、相似三角形的性質(zhì).