Question

如圖，在銳角△ABC的BC邊上有兩點(diǎn)E、F，滿足∠BAE=∠CAF，作FM⊥AB，F(xiàn)N⊥AC（M、N是垂足），延長(zhǎng)AE交△ABC的外接圓于點(diǎn)D．
證明：四邊形AMDN與△ABC的面積相等．

Answer 1

證明：如圖：連接BD，
∵FM⊥AB于點(diǎn)M，F(xiàn)N⊥AC于點(diǎn)N，
∴A，M，F(xiàn)，N四點(diǎn)共圓，
∴∠AMN=∠AFN，
∴∠AMN+∠BAE=∠AFN+∠CAF=90°，
即MN⊥AD，
∴S_{四邊形AMDN}=AD•MN，
∵∠CAF=∠DAB，∠ACF=∠ADB，
∴△AFC∽△ABD，
∴AF：AB=AC：AD，
∴AB•AC=AD•AF，
∵AF是過A、M、F、N四點(diǎn)的圓的直徑，
∴=AF，
∴AF•sin∠ABC=MN，
∴S_△ABC=AB•AC•sin∠BAC=AD•AF•sin∠BAC=AD•MN=S_{四邊形AMDN}．
∴S_△ABC=S_{四邊形AMDN}．
分析：根據(jù)FM⊥AB，F(xiàn)N⊥AC，得到A，M，D，N四點(diǎn)共圓，得到MN⊥AD，再用兩角對(duì)應(yīng)相等證明兩三角形相似，利用相似三角形的性質(zhì)，相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等證明四邊形的面積與三角形的面積相等．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等可以得到兩組相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)，相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等，得到線段乘積的形式，證明四邊形的面積與三角形的面積相等．